imported>Alex NB OT: Форматирование дат согласно Википедия:Техническое соглашение о датах и времени и Википедия:Обсуждение правил/Википедия:Техническое соглашение о датах и времени

2025-08-23T06:18:20Z

Форматирование дат согласно Википедия:Техническое соглашение о датах и времени и Википедия:Обсуждение правил/Википедия:Техническое соглашение о датах и времени

Новая страница

[[Файл:Cissoid of diocles.png|thumb|200px|right|Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.]]

'''Циссоида Диокла''' — плоская [[алгебраическая кривая]] третьего порядка.
В [[прямоугольная система координат|декартовой системе координат]], где ось абсцисс направлена по <math>OX</math>, а ось ординат по <math>OY</math>, на отрезке <math>OA=2a</math>, как на диаметре строится вспомогательная [[окружность]]. В точке <math>A</math> проводится касательная <math>UV</math>. Из точки <math>O</math> проводится произвольная прямая <math>OF</math>, которая пересекает окружность в точке <math>E</math> и касательную в точке <math>F</math>. От точки <math>F</math>, в направлении точки <math>O</math>, откладывается отрезок <math>FM</math>, длина которого равна длине отрезка <math>OE</math>. При вращении линии <math>OF</math> вокруг точки <math>O</math>, точка <math>M</math> описывает линию, которая называется '''Циссоида Диокла'''. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

== Уравнения ==
{{Нет ссылок в разделе|дата=2011-05-12}}
Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:
: <math>y^2=\frac{x^3}{2a-x}.\qquad\qquad(1)</math>
Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
: <math>\rho=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}.</math>
Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:
: <math>\rho=\frac{2a\left(1-\cos^2\varphi\right)}{\cos\varphi}=</math>
:: <math>=2a\left(\frac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi\right)=</math>
:: <math>=2a\left(\sec\varphi-\cos\varphi\right).</math>
Параметрическое уравнение циссоиды:
: <math>x=\frac{2au^2}{1+u^2},</math> <math>y=\frac{2au^3}{1+u^2},</math>
где
: <math>u=\mathrm{tg}\,\varphi</math>.

== История ==

Впервые циссоиду исследовал греческий математик [[Диокл (математик)|Диокл]] во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка <math>P</math>, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке <math>E</math>; ось симметрии — диаметр <math>BD</math>. Из точки <math>P</math> проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка <math>M</math>, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой <math>OE</math>. Этим методом Диокл построил только кривую <math>DOB</math> внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (<math>DOB</math>) замкнуть дугой окружности <math>EAD</math>, то получается фигура, напоминающая своей формой лист [[плющ]]а. По-гречески плющ — {{lang-grc2|κισσός}} («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик [[Роберваль, Жиль|Жиль Роберваль]] в [[1640 год]]у. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик [[Слюз, Рене де|Слюз]].

== Свойства ==
*Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
*Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках <math>B</math> и <math>D</math>, которые принадлежат диаметру этой окружности.
*Циссоида имеет один [[касп]] и [[Асимптота|асимптоту]] <math>UV</math>, уравнение которой: <math>x=2a</math>, где <math>a</math> — [[радиус]] вспомогательной окружности.
*Циссоида является [[Эвольвента|эвольвентой]] параболы с каспом в вершине параболы. При этом [[Директриса (геометрия)|директриса]] параболы является асимптотой циссоиды.<ref>{{книга|автор=Акопян А.В.|заглавие=Геометрия в картинках|год=|серия=|ссылка=https://www.mccme.ru/free-books/akopyan/Akopyan.pdf|место=|издательство=|тираж=|страниц=|isbn=|archive-date=2019-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190602181845/https://mccme.ru/free-books/akopyan/Akopyan.pdf}}</ref>

=== Площадь между циссоидой и асимптотой ===
Эта площадь равна:
: <math>S_1=3\pi a^2.</math>

{{Hider|
title = Вывод|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Площадь, заключённая между ветвями циссоиды <math>KOL</math> и асимптотой <math>UV</math> <math>S_1</math>.
Уравнение верхней ветви <math>OL</math>:
: <math>y=\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}.\qquad\qquad(2)</math>
Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до <math>2a</math>:
: <math>\frac{1}{2}S_1=\int\limits_0^{2a}\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}\,dx.\qquad\qquad(3)</math>
Подстановка:
: <math>u^2=2a-x,\qquad x=2a-u^2,\qquad dx=-2u\,du.</math>
Пределы интегрирования:
: <math>x=0\Rightarrow u=\sqrt{2a},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.</math>
Интеграл (3) преобразуется к виду:
: <math>\frac{1}{2}S_1=-2\int\limits_\sqrt{2a}^0\sqrt{(2a-u^2)^3}\,du=</math>
:: <math>=\left.-2\left(\frac{u}{8}(10a-2u^2)\sqrt{2a-u^2}+\frac{3a^2}{2}\arcsin\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)\right|^0_\sqrt{2a}=\frac{3\pi a^2}{2}.</math>
Итак:
: <math>\frac{1}{2}S_1=\frac{3\pi a^2}{2}.</math>
: <math>S_1=3\pi a^2.</math>
}}

=== Объём тела вращения ===
Объём (<math>V_1</math>) тела, образованного при вращении ветви <math>OL</math> вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:
: <math>V_1=\pi\int\limits_0^{2a}\frac{x^3}{2a-x}\,dx=</math>
:: <math>=\pi\int\limits_0^{2a}\left(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x}\right)\,dx=</math>
:: <math>=\left.-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln(2a-x))\right|^{2a}_0.</math>
Если <math>x\to 2a</math>, то <math>\ln(2a-x)\to-\infty</math>, то есть <math>V_1\to\infty</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга
| автор=Савелов А.А.
| заглавие=Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)
| место=Москва
| издательство=Государственное издательство физико-математической литературы
| год=1960
| страниц=293 }}
* {{книга
| автор=Смогоржевский А.С., Столова Е.С.
| заглавие=Справочник по теории плоских кривых третьего порядка
| место=Москва
| издательство=Физматгиз
| год=1961
| страниц=263 }}

* {{книга
| автор=J. Dennis Lawrence
| заглавие=A catalog of special plane curves
| ссылка=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr
| издательство=Dover Publications
| год=1972
| isbn=0-486-60288-5
| страниц=53—56 }}
* Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

{{Кривые}}
{{Нет ссылок|дата=2011-05-12}}

[[Категория:Алгебраические кривые]]

Циссоида Диокла - История изменений