imported>Mipt finished: /* Свойства */Проявил уважение функции Эйлера.

2023-01-05T16:06:37Z

Свойства: Проявил уважение функции Эйлера.

Новая страница

'''Циклическая группа''' — [[группа (математика)|группа]] <math>(G, \cdot)</math>, которая может быть [[Порождающее множество группы|порождена]] одним элементом {{mvar|a}}, то есть все её элементы являются степенями {{mvar|a}} (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде {{mvar|na}}, где {{mvar|n}} — [[целое число]]). Математическое обозначение: <math>G = \langle a \rangle</math>.

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени <math>g^n</math> будут различными. Порождённая таким образом группа называется '''бесконечной циклической группой''' и [[изоморфизм|изоморфна]] группе [[целое число|целых чисел]] по сложению <math>(\mathbb{Z}, +).</math>

== Свойства ==
: {{also|Конечная группа#Конечные циклические группы|l1=Конечные циклические группы}}
* Все циклические группы [[абелева группа|абелевы]].
* Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе <math>\mathbb{Z}_n</math> = <math>\{0,1,\dots,n-1\}</math> со [[сравнение по модулю|сложением по модулю]] ''n'' (её также обозначают <math>\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}</math>), а каждая бесконечная — изоморфна <math>\mathbb{Z}</math>, группе целых чисел по сложению.
** В частности, для каждого натурального числа ''n'' существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа [[порядок группы|порядка]] ''n''.
* Каждая подгруппа циклической группы циклична.
* У циклической группы порядка ''n'' существует ровно <math>\varphi(n)</math> ([[функция Эйлера]]) порождающих элементов.
* Если ''p'' — [[простое число]], то любая группа порядка ''p'' циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из [[теорема Лагранжа (теория групп)|теоремы Лагранжа]]).
* [[Прямое произведение групп|Прямое произведение]] двух циклических групп порядков <math>n</math> и <math>m</math> циклично тогда и только тогда, когда ''n'' и ''m'' взаимно просты.
** Например, <math>\mathbb{Z}_{12}</math> изоморфна <math>\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4</math>, но не изоморфна <math>\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2</math>.
* [[Классификация простых конечных групп|Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах]] утверждает, что любая [[конечнопорождённая абелева группа]] единственным образом разлагается в прямое произведение ''примарных'' циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа <math>\mathbb{Z}_{p^n}</math>, где ''p'' — простое число, или <math>\mathbb{Z}</math>.
* Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
* [[Кольцо (алгебра)|Кольцо]] [[эндоморфизм]]ов группы <math>\mathbb{Z}_n</math> изоморфно кольцу <math>\mathbb{Z}_n</math>. При этом изоморфизме числу ''r'' соответствует эндоморфизм <math>\mathbb{Z}_n</math>, который сопоставляет элементу сумму ''r'' его экземпляров. Такое отображение будет [[биекция|биекцией]], тогда и только тогда, когда ''r'' взаимно просто с ''n'', так что [[группа автоморфизмов]] <math>\mathbb{Z}_n</math> изоморфна <math>\mathbb{Z}_n^{\times}</math>.

== Примеры ==

* [[Группа корней из единицы]] степени ''n'' по умножению.
* [[Группа Галуа]] любого [[Конечное расширение|конечного расширения]] [[Конечное поле|конечного поля]] конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле ''F'' и конечная циклическая группа ''G'', существует конечное расширение ''F'', группой Галуа которого будет ''G''.

== Доказательства ==

'''Утверждение'''. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

'''Доказательство'''. Пусть <math>G</math> — циклическая группа и <math>H</math> — подгруппа группы <math>G</math>. Если группа <math>G</math> тривиальна (состоит из одного элемента), то <math>H=G</math> и <math>H</math> циклична. Если <math>H</math> — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то <math>H</math> циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что <math>G</math> и <math>H</math> не являются тривиальными.

Пусть <math>g</math> — образующий элемент группы <math>G</math>, а <math>n</math> — наименьшее положительное целое число, такое что <math>g^n \in H</math>. Утверждение: <math>H=\langle g^n \rangle</math>

; <math>\langle g^n \rangle \subseteq H</math>
: <br />
: <math>{\forall a \in \langle g^n \rangle}\ {\exists z \in \mathbb{Z}} \mid {a=(g^n)^z}</math>
: <math>g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H</math>
: Следовательно, <math>\langle g^n \rangle \subseteq H</math>.
: <br />
; <math>H \subseteq \langle g^n \rangle</math> :
: <br />
: Пусть <math>h \in H</math>.
: <math>h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\mathbb{Z}} \mid h=g^x</math>.
: Согласно алгоритму деления с остатком <math>\exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n-1 \land x=qn+r</math>
: <math>h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q}</math>.
: <math>h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H</math>.
: Исходя из того, каким образом мы выбрали <math>n</math> и того, что <math>0 \le r \le n-1</math>, делаем вывод, что <math>r=0</math>.
: <math>r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle</math>.
: Следовательно, <math>H \subseteq \langle g^n \rangle</math>.

== Литература ==
* ''Винберг Э. Б.'' Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
* ''Хамермеш М.'' Теория групп и её применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.

{{Теория групп}}

[[Категория:теория групп]]
[[Категория:Свойства групп]]

Циклическая группа - История изменений

imported>Mipt finished: /* Свойства */Проявил уважение функции Эйлера.