imported>Almaximal: /* В информатике */

2025-02-27T15:36:23Z

В информатике

Новая страница

[[Файл:Floor function.svg|thumb|right|График функции «пол» (целая часть числа)]]
[[Файл:Ceiling function.svg|thumb|right|График функции «потолок»]]
В [[математика|математике]], '''целая часть''' [[вещественное число|вещественного числа]] <math>x</math> — [[округление]] <math>x</math> до ближайшего [[Целое число|целого]] в меньшую сторону. Целая часть числа также называется '''антье''' ({{lang-fr|entier}}), или '''пол''' ({{lang-en|floor}}). Наряду с полом существует парная [[Функция (математика)|функция]] — '''потолок''' ({{lang-en|ceiling}}) — округление <math>x</math> до ближайшего целого в большую сторону.

== Обозначения и примеры ==

Впервые квадратные скобки (<math>[x]</math>) для обозначения целой части числа <math>x</math> использовал [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] в [[1808 год в науке|1808 году]] в своём доказательстве [[Квадратичный закон взаимности|закона квадратичной взаимности]]<ref>Lemmermeyer, pp. 10, 23.</ref>. Это обозначение считалось стандартным<ref>Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.</ref>, пока [[Айверсон, Кеннет Юджин|Кеннет Айверсон]] в своей книге «''A Programming Language''», опубликованной в [[1962 год в науке|1962 году]], не предложил<ref>Iverson, p. 12.</ref><ref>Higham, p. 25.</ref><ref name="GKP-88">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 88
}}</ref> округление числа <math>x</math> до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» <math>x</math> и обозначать <math>\lfloor x \rfloor</math> и <math>\lceil x \rceil</math> соответственно.

В современной математике используются оба обозначения<ref>{{MathWorld|urlname=FloorFunction|title=Floor Function}}</ref>, <math>[x]</math> и <math>\lfloor x \rfloor</math>, однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным<ref name="GKP-88" />. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, <math>[x] \equiv \lfloor x \rfloor = -3</math>, однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–''x'') = –INT(''x''), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:
: <math>
\begin{matrix}
\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2, & \lfloor -2{,}7 \rfloor = -3, \\
\lceil 2{,}7 \rceil = 3, & \lceil -2{,}7 \rceil = -2.
\end{matrix}
</math>

{{Смотри также|Округление}}

== Определения ==
'''[[Функция (математика)|Функция]] «пол»''' <math>\lfloor \cdot \rfloor\colon x \mapsto \lfloor x \rfloor</math> определяется как наибольшее [[Целое число|целое]], меньшее или равное <math>x</math>:
: <math>\lfloor x \rfloor = \max\{ n \in \mathbb{Z} \mid n \leqslant x\}.</math>

'''Функция «потолок»''' <math>\lceil \, \cdot \, \rceil\colon x \mapsto \lceil x \rceil</math> — это наименьшее целое, большее или равное <math>x</math>:
: <math>\lceil x \rceil = \min\{ n \in \mathbb{Z} \mid n \geqslant x\}.</math>

Эти определения [[Равносильность|эквивалентны]] следующим неравенствам (где ''n'' — целое число):<ref name="GKP-90">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 90
}}</ref>
:<math>
\begin{matrix}
\lfloor x \rfloor = n & \Longleftrightarrow & n \leqslant x < n+1 & \Longleftrightarrow & x-1 < n \leqslant x, \\
\lceil x \rceil = n & \Longleftrightarrow & n-1 < x \leqslant n & \Longleftrightarrow & x \leqslant n < x+1.
\end{matrix}
</math>

== Свойства ==

В формулах, записанных ниже, буквами <math>x</math> и <math>y</math> обозначены [[Вещественное число|вещественные числа]], а буквами <math>n</math> и <math>m</math> — [[Целое число|целые]].

=== Пол и потолок как функции вещественной переменной ===

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:
: <math>
\lfloor \, \cdot \, \rfloor\colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}, \quad
\lceil \, \cdot \, \rceil\colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}, \quad
</math>

Пол и потолок — [[Кусочно-постоянная функция|кусочно-постоянные функции]].

Функции пол и потолок [[Непрерывная функция|разрывны]]: во всех целочисленных точках терпят [[Разрыв первого рода|разрывы первого рода]] со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:
* [[Полунепрерывная функция|полунепрерывной сверху]] и
* [[Непрерывная функция#Вариации и обобщения|непрерывной справа]].

Функция потолок является:
* [[Полунепрерывная функция|полунепрерывной снизу]] и
* [[Непрерывная функция#Вариации и обобщения|непрерывной слева]].

=== Связь функций пол и потолок ===

Для произвольного числа <math>x</math> верно неравенство<ref name="GKP-89">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 89
}}</ref>
: <math>\lfloor x \rfloor \leqslant x \leqslant \lceil x \rceil</math>

Для целого <math>x</math> пол и потолок совпадают:
: <math>\lfloor x \rfloor = x \quad \Longleftrightarrow \quad x \in \mathbb{Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x \rceil = x</math>

Если <math>x</math> — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:
: <math>
\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor =
\begin{cases}
1, & x \notin \mathbb{Z} \\
0, & x \in \mathbb{Z}
\end{cases}
</math>

Функции пол и потолок являются [[Отражение (геометрия)|отражениями]] друг друга от обеих осей:
: <math>\lfloor -x \rfloor = -\lceil x \rceil, \quad \lceil -x \rceil = -\lfloor x \rfloor</math>

=== Пол/потолок: неравенства ===
Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами
<ref name="GKP-90" />:
: <math>
\begin{matrix}
n \leqslant x & \Longleftrightarrow & n \leqslant \lfloor x \rfloor
& \qquad
x \leqslant n & \Longleftrightarrow & \lceil x \rceil \leqslant n \\
n < x & \Longleftrightarrow & n < \lceil x \rceil
& \qquad
x < n & \Longleftrightarrow & \lfloor x \rfloor < n
\end{matrix}
</math>
Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних [[Доказательство от противного|от противного]].

Функции пол/потолок являются [[Возрастающая функция|монотонно возрастающими]] функциями:
: <math>
x \leqslant y \Rightarrow \lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor y \rfloor
, \quad
x \leqslant y \Rightarrow \lceil x \rceil \leqslant \lceil y \rceil
</math>

=== Пол/потолок: сложение ===
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
<ref name="GKP-90-91">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 90-91
}}</ref>:
: <math>\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n , \quad
\lceil x + n \rceil = \lceil x \rceil + n
</math>

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:
: <math>
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor x + y \rfloor \leqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1
, \quad
\lceil x \rceil + \lceil y \rceil - 1 \leqslant \lceil x + y \rceil \leqslant \lceil x \rceil + \lceil y \rceil
</math>

=== Пол/потолок под знаком функции ===
Имеет место следующее предложение:<ref name="GKP-93">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 93
}}</ref>

Пусть <math>f(x)</math> — [[Непрерывная функция|непрерывная]] [[Монотонная функция|монотонно возрастающая]] функция, определенная на некотором [[Промежуток (математика)|промежутке]], обладающая свойством:
: <math>f(x) \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z}</math>
Тогда
: <math>
\lfloor f(x) \rfloor = \lfloor f(\lfloor x \rfloor) \rfloor, \quad
\lceil f(x) \rceil = \lceil f(\lceil x \rceil) \rceil
</math>
всякий раз, когда определены <math>f(x), f(\lfloor x \rfloor), f(\lceil x \rceil)</math>.

В частности,
: <math>
\left \lfloor \frac{x+m}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{\left \lfloor x \right \rfloor + m}{n} \right \rfloor
,\quad
\left \lceil \frac{x+m}{n} \right \rceil = \left \lceil \frac{\left \lceil x \right \rceil + m}{n} \right \rceil
</math>
если <math>m</math> и <math>n</math> — целые числа, и <math>n>0</math>.

=== Пол/потолок: суммы ===
Если <math>m,n</math> — целые числа, <math>m>0</math>, то
<ref name="GKP-108">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 108
}}</ref>
: <math>n=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n+1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor\frac{n+m-1}{m}\right\rfloor
</math>

Вообще, если <math>x</math> — произвольное вещественное число, а <math>m</math> — целое положительное, то
: <math>\lfloor mx \rfloor=\left\lfloor x\right\rfloor + \left\lfloor x+\frac{1}{m}\right\rfloor +\dots+\left\lfloor x+\frac{m-1}{m}\right\rfloor
</math>

Имеет место более общее соотношение
<ref name="GKP-112-117">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 112-117
}}</ref>:
: <math>
\sum_{0 \leqslant k < m} \left \lfloor \frac{nk+x}{m} \right \rfloor = d \left \lfloor \frac{x}{d} \right \rfloor + \frac{(m-1)(n-1)}{2} + \frac{d-1}{2}, \quad d=(m,n)
</math>

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно <math>m</math> и <math>n</math>, то справедлив следующий ''закон взаимности'':
: <math>
\sum_{0 \leqslant k < m} \left \lfloor \frac{nk+x}{m} \right \rfloor =
\sum_{0 \leqslant k < n} \left \lfloor \frac{mk+x}{n} \right \rfloor
, \quad m, n>0
</math>

=== Разложимость в ряд ===
Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью [[Функция Хевисайда|функции Хевисайда]]:
: <math>
[x]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}n\left(\theta(x-n)-\theta(x-n-1)\right),
</math>
где каждое слагаемое [[Функциональный ряд|ряда]] создаёт характерные «[[Прямоугольная функция|ступеньки]]» функции. Этот [[Функциональный ряд|ряд]] [[Абсолютная сходимость|сходится абсолютно]], однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду
: <math>
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\theta\left(x-n\right),
</math>
который [[Расходящийся ряд|расходится]].

== Применение ==
Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в [[Дискретная математика|дискретной математике]] и [[Теория чисел|теории чисел]]. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

=== Количество цифр в записи числа ===
Количество цифр в записи целого положительного числа в [[Позиционная система счисления|позиционной системе счисления]] с основанием ''b'' равно
<ref name="GKP-91">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 91
}}</ref>
: <math>\lfloor \log_{b} n \rfloor + 1</math>

=== Округление ===
{{main|Округление}}
Ближайшее к <math>x</math> целое число может быть определено по формуле
: <math>(x) = \lfloor x + 0{,}5\rfloor</math>

=== Бинарная операция mod ===
{{main|Остаток от деления}}
Операция «остаток по модулю», обозначаемая <math>x \bmod y</math>, может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если <math>x,y</math> — произвольные вещественные числа, и <math>y \neq 0</math>, то [[неполное частное]] от деления <math>x</math> на <math>y</math> равно
: <math>\lfloor x/y \rfloor</math>,
а [[Остаток от деления|остаток]]
: <math>x \, \bmod \, y = x - y \lfloor x/y \rfloor</math>

=== Дробная часть ===
{{main|Дробная часть}}
Дробная часть вещественного числа <math>x</math> по определению равна
: <math>\{x\} = x \, \bmod \, 1 = x - \lfloor x \rfloor</math>

=== Количество целых точек промежутка ===
Требуется найти количество целых точек в [[Промежуток (математика)|замкнутом промежутке]] с концами <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>, то есть количество целых чисел <math>n</math>, удовлетворяющий неравенству
: <math>\alpha \leqslant n \leqslant \beta</math>
В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно
: <math>\lceil \alpha \rceil \leqslant n \leqslant \lfloor \beta \rfloor</math>.
Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами <math>\lceil \alpha \rceil</math> и <math>\lfloor \beta \rfloor</math>, равное <math>\lfloor \beta \rfloor - \lceil \alpha \rceil + 1</math>.

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах [[Промежуток (математика)|промежутков]]. Сводка результатов приведена ниже
<ref name="GKP-95-96">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 95-96
}}</ref>.
: <math>
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha \leqslant n \leqslant \beta \} = \lfloor \beta \rfloor - \lceil \alpha \rceil + 1
</math>
: <math>
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha \leqslant n < \beta \} = \lceil \beta \rceil - \lceil \alpha \rceil
</math>
: <math>
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha < n \leqslant \beta \} = \lfloor \beta \rfloor - \lfloor \alpha \rfloor
</math>
: <math>
\#\{ n \in \mathbb{Z} \colon \alpha < n < \beta \} = \lceil \beta \rceil - \lfloor \alpha \rfloor - 1
</math>
''(Через <math>\# M</math> обозначена [[мощность множества]] <math>M</math>)''.

Первые три результата справедливы при всех <math>\alpha \leqslant \beta</math>, а четвёртый — только при <math>\alpha < \beta</math>.

=== Теорема Рэлея о спектре ===

Пусть <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — положительные [[иррациональные числа]], связанные соотношением
<ref name="GKP-99-100">{{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|страницы = 99-100
}}</ref>
: <math>\frac {1} {\alpha} + \frac{1} {\beta} = 1.</math>

Тогда в ряду чисел
: <math>\lfloor \alpha\rfloor, \lfloor \beta \rfloor, \lfloor 2\alpha\rfloor, \lfloor 2\beta \rfloor, \ldots, \lfloor m\alpha\rfloor, \lfloor m\beta \rfloor, \ldots</math>
каждое [[Натуральное число|натуральное]] <math>n \in \mathbb{N}</math> встречается в точности один раз.
Иными словами, последовательности
: <math>\{m\alpha \mid m \in \mathbb{N}\}</math> и <math>\{m\beta \mid m \in \mathbb{N}\}</math>,
называемые [[Последовательность Битти|последовательностями Битти]], образуют разбиение натурального ряда.<ref>{{статья |автор=А. Баабабов |заглавие=«Пентиум» хорошо, а ум лучше |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1999 |номер=4 |страницы=36-38 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/kv0499baababov.pdf |archivedate=2014-07-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140722195215/http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/kv0499baababov.pdf }}</ref>

== В информатике ==

=== В Юникоде ===
В Юникоде есть символы ⌊ (LEFT FLOOR, U+230A) и ⌋ (RIGHT FLOOR, U+230B).

=== В языках программирования ===
Во многих [[Язык программирования|языках программирования]] существуют встроенные функции пола/потолка <tt> floor(), ceil()</tt>.

=== В системах вёрстки ===
В [[TeX]] (и [[LaTeX]]) для символов пола/потолка <math>\lfloor</math>, <math>\rfloor</math>, <math>\lceil</math>, <math>\rceil</math> существуют специальные команды: <tt>\lfloor</tt>, <tt>\rfloor</tt>, <tt>\lceil</tt>, <tt>\rceil</tt>. Поскольку [[wiki]] использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=25em}}

== См. также ==
* [[Дробная часть]]
* [[Округление]]
* [[Десятичный разделитель]]

== Литература ==
* {{книга
|автор = Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник.
|заглавие = Конкретная математика
|место = М.
|издательство = «Мир»
|год = 1998
|страниц = 703
|isbn = 5-03-001793-3
}}
* {{Книга
|автор = М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко.
|часть =
|заглавие = Алгебра и начала анализа
|оригинал =
|ссылка =
|место =
|издательство = АО Столетие
|год = 1996
|страницы =
|isbn = }}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Элементарная математика]]
[[Категория:Кусочно-линейные функции]]

Целая часть - История изменений

imported>Almaximal: /* В информатике */