185.234.120.29: /* Свойства */ Уточнил тезис об использовании определения с нестрогим неравенством -- создается посыл, что реже во всем мире, но это не так. Международно принятый стандарт с нестрогим неравенством. Могу сослаться на ISO 80000-11:2019 International Organization for Standardization 11-9.2 и на ГОСТ ISO 3534-1-2019 2.10.

2026-02-27T21:44:36Z

Свойства: Уточнил тезис об использовании определения с нестрогим неравенством -- создается посыл, что реже во всем мире, но это не так. Международно принятый стандарт с нестрогим неравенством. Могу сослаться на ISO 80000-11:2019 International Organization for Standardization 11-9.2 и на ГОСТ ISO 3534-1-2019 2.10.

Новая страница

{{Не путать|Функция распределения (статистическая физика)}}[[File:Normal Distribution CDF.svg|thumb|300px|Функции распределения гауссовых случайных величин.]]
'''Фу́нкция распределе́ния''' в [[теория вероятностей|теории вероятностей]] — функция, характеризующая [[Распределение вероятностей|распределение случайной величины]] или случайного вектора. В одномерном случае функция распределения — это вероятность того, что случайная величина <math>X</math> примет значение, меньшее <math>x</math>, где <math>x</math> — произвольное действительное число<ref name="Вентцель">Вентцель Е. С. Теория вероятностей. 2001. — С. 73.</ref><ref name="Боровков">Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 37.</ref><ref name="Математическая энциклопедия">Математическая энциклопедия. 1984, Том 4. — С. 883.</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{Cite web |url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Distribution_function |title=Encyclopedia of Mathematics. Distribution function. |archive-date=2024-06-28 |access-date=2025-04-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240628112421/https://encyclopediaofmath.org/wiki/Distribution_function |url-status=dead }}</ref><ref name="Тихонов">Тихонов В. И. Статистическая радиотехника, 1982.— С. 21.</ref>.

== Определение ==
Пусть дано [[вероятностное пространство]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, и на нём определена [[случайная величина]] <math>X</math> с распределением <math>\mathbb{P}^X</math>. Тогда функцией распределения случайной величины <math>X</math> называется [[функция (математика)|функция]] <math>F_X</math>, задаваемая формулой<ref name="Вентцель"/><ref name="Боровков"/><ref name="Математическая энциклопедия"/><ref name="Encyclopedia of Mathematics"/><ref name="Тихонов"/>:
: <math>F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right)</math>.
То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины <math>X </math> называют функцию <math>F(x)</math>, значение которой в точке <math>x </math> равно вероятности события <math>\{X < x\}</math>, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых <math>X < x</math>.

== Свойства ==
* <math>F_X</math> [[Непрерывная слева функция|непрерывна слева]]<ref name="Боровков_2">Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 39.</ref>:
*:<math>\lim\limits_{x \to x_0-} F_X(x) = F_X(x)</math>
* <math>F_X</math> [[Монотонность функции|не убывает]] на всей числовой прямой.
* <math>\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0</math>.
* <math>\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1</math>.

Если функция <math>F(x)</math> удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что <math>F(x)</math> является её функцией распределения<ref name="Боровков_2"/>.

Функция <math>F_X</math> была бы [[Непрерывная справа функция|непрерывна справа]]<ref name="Боровков_2"/>:
:<math>\lim\limits_{x \to x_0+} F_X(x) = F_X(x)</math>,
если бы определение функции распределения было бы следующее:
: <math>F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )</math>.
Такое определение функции распределения используется реже в русскоязычной литературе<ref name="Математическая энциклопедия"/><ref>{{Cite web |url=https://bigenc.ru/c/raspredelenie-veroiatnostei-f35ff8 |title=Распределение вероятностей. Большая российская энциклопедия. |archive-date=2025-05-30 |access-date=2025-04-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20250530103908/https://bigenc.ru/c/raspredelenie-veroiatnostei-f35ff8 |url-status=live }}</ref>, например у математика [[Ширяев, Альберт Николаевич|Ширяева А. Н.]]<ref>{{книга |автор=[[Ширяев, Альберт Николаевич|Ширяев, А. Н.]] |заглавие=Вероятность |ссылка=http://www.booksshare.net/books/physics/shiryaev-an/1957/files/veroyatnost1957.pdf |страницы=45, 166 |место=М. |издательство=Наука |год=1980 |archive-date=2025-05-30 |access-date=2025-04-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20250530103904/http://www.booksshare.net/books/physics/shiryaev-an/1957/files/veroyatnost1957.pdf |url-status=live }}</ref>. Однако современным международным стандартом рекомендовано определение с нестрогим неравенством, что обосновано техническими удобствами при работе с мерой Лебега-Стилтьеса.

=== Тождества ===
Из свойств [[Вероятность|вероятности]] следует, что <math>\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>a < b</math><ref name="Боровков"/><ref name="Тихонов"/>:
* <math>\mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b ) = F_X(b+0) - F_X(a)</math>;
* <math>\mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-0) - F_X(a)</math>;

== Дискретные распределения ==
Если случайная величина <math>X</math> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся [[функция вероятности|функцией вероятности]]:
: <math>\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</math>,
то функция распределения <math>F_X</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
: <math>F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i < x} p_i</math>.
Эта функция непрерывна во всех точках <math>x\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x \not= x_i,\; \forall i</math>, и имеет разрыв первого рода в точках <math>x = x_i,\; \forall i</math>.

== Непрерывные распределения ==
Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется непрерывным, если такова его функция распределения <math>F_X</math>. В этом случае:
: <math>\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,
и
: <math>F_X(x-0) = F_X(x+0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,
а следовательно формулы имеют вид:
: <math>\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)</math>,
где <math>|a,b|</math> означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный<ref>Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам, 2008. — С. 66.</ref>.

== Абсолютно непрерывные распределения ==
Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется [[Абсолютная непрерывность|абсолютно непрерывным]], если существует неотрицательная [[почти всюду]] функция <math>f_X(x)</math>, такая что:
: <math>F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt</math>.
Функция <math>f_X</math> называется [[Плотность вероятности|плотностью распределения]]. Известно, что функция распределения абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если <math>f_X \in C(\mathbb{R})</math>, то <math>F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})</math>, и
: <math>\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>.

== Вариации и обобщения ==
=== Многомерные функции распределения ===
Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> фиксированное вероятностное пространство, и <math>X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^n</math> — случайный вектор. Тогда распределение <math>\mathbb{P}^X</math>, называемое ''распределением случайного вектора'' <math>X</math> или ''совместным распределением случайных величин'' <math>X_1,\ldots,X_n</math>, является вероятностной мерой на <math>\mathbb{R}^n</math>. Функция этого распределения <math>F_X</math> задаётся по определению следующим образом:
: <math>F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 < x_1 ,\ldots, X_n < x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i)\right)</math>,
где <math>\prod</math> в данном случае обозначает [[декартово произведение множеств]].

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на <math>\mathbb{R}^n</math> и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для <math>n > 1</math>.

== См. также ==
* [[Плотность вероятности]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{ВС}}

[[Категория:Теория вероятностей]]

Функция распределения - История изменений