https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?action=history&feed=atom&title=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5Функция Дирихле - История изменений2026-07-17T18:46:05ZИстория изменений этой страницы в викиMediaWiki 1.45.3https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5&diff=15081&oldid=previmported>Sldst-bot: ш:rq убран, т.к. осталась одна проблема: refless → ш:нет сносок (2017-07-08)2025-09-01T01:29:31Z<p><a href="/mediawiki/index.php?title=%D0%A8:rq&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ш:rq (страница не существует)">ш:rq</a> убран, т.к. осталась одна проблема: refless → <a href="/mediawiki/index.php?title=%D0%A8:%D0%BD%D0%B5%D1%82_%D1%81%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%BA&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ш:нет сносок (страница не существует)">ш:нет сносок</a> (<a href="/mediawiki/index.php/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:%D0%98%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F/86415449" title="Служебная:Изменения/86415449">2017-07-08</a>)</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>{{другие значения термина|Дирихле|Дирихле (значения)}}<br />
[[Файл:Dirichlet-function.svg|мини|Графическое представление функции Дирихле: две параллельные и, казалось бы, сплошные линии. Синяя (или красная) линия представляет собой рациональные (или иррациональные) числа, плотно расположенные в вещественных числах]]<br />
<br />
'''Функция Дирихле́''' — [[Функция (математика)|функция]], принимающая значение единица на [[Рациональное число|рациональных]] числах и ноль — на [[Иррациональное число|иррациональных]], стандартный пример всюду [[непрерывное отображение|разрывной функции]]. Введена в [[1829 год в науке|1829 году]] немецким математиком [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]].{{sfn|Ferreiros|2013|с=150}}<br />
<br />
== Определение ==<br />
Символически, функция Дирихле <math>D : \R \rightarrow \{0, 1\}</math> определяется следующим образом:{{sfn|Фихтенгольц|2003|с=115}}<br />
: <math>D(x) = \begin{cases}<br />
1, & x\in \mathbb Q; \\<br />
0, & x \in \mathbb I.<br />
\end{cases}</math><br />
<br />
== Свойства ==<br />
Принадлежит второму [[класс Бэра|классу Бэра]], то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как [[повторный предел]] последовательности непрерывных функций{{sfn|Dunham|2005|с=197}}{{sfn|Рудин|1976|с=162 Пример 7.5}}:<br />
: <math>D(x) = \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(m!\pi x)</math>.<br />
<br />
Каждая точка в области определения является [[Точка разрыва второго рода|точкой разрыва второго рода]] (причём существенного).{{sfn|Зорич|2019|с=145|}}<br />
<br />
Является [[Периодическая функция|периодической функцией]], её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.{{sfn|encyclopediamath|loc=comment}}<br />
<br />
Не является [[интеграл Римана|интегрируемой в смысле Римана]].{{sfn|Никольский|1983|с=357}} [[Простая функция]]; [[измеримая функция|измерима]] по отношению к [[мера Лебега|мере Лебега]]; [[интеграл Лебега]] от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.<br />
<br />
== Вариации и обобщения ==<br />
Вариацией функции Дирихле является [[Функция Римана (ТФДП)|функция Римана]], называемая также, «функцией Тома» (''Thomae'').<br />
<br />
== Примечания ==<br />
{{примечания}}<br />
<br />
== Литература ==<br />
* {{книга<br />
|автор=Jose Ferreiros<br />
|ref=Ferreiros<br />
|год=2013<br />
|заглавие=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics<br />
|страниц=440<br />
}}<br />
* {{книга<br />
|автор=Г.М. Фихтенгольц<br />
|ref=Фихтенгольц<br />
|год=2003<br />
|издательство=Физматлит<br />
|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления<br />
|том=1<br />
|издание=8-е изд.<br />
}}<br />
* {{книга<br />
|автор=С.М. Никольский<br />
|ref=Никольский<br />
|том=1<br />
|заглавие=Курс математического анализа<br />
|год=1983<br />
|издательство=«Наука», Главная редакция физико-математической литературы<br />
|место=Москва<br />
}}<br />
* {{cite web<br />
|url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Dirichlet-function&oldid=42322<br />
|title=Dirichlet-function<br />
|website=Encyclopedia of Mathematics<br />
|ref=encyclopediamath<br />
}}<br />
* {{книга<br />
|автор=В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов<br />
|ref=Немыцкий, Слудская, Черкасов<br />
|место=Москва, Ленинград<br />
|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы<br />
|заглавие=Курс математического анализа<br />
|том=1<br />
|год=1940<br />
}}<br />
* {{книга<br />
|ref=Dunham<br />
|автор=William Dunham<br />
|заглавие=The Calculus Gallery<br />
|ссылка=https://archive.org/details/calculusgallerym0000dunh_d6g7<br />
|издательство=Princeton University Press<br />
|год=2005<br />
|isbn=0-691-09565-5<br />
}}<br />
* {{книга<br />
|автор=У. Рудин<br />
|ref=Рудин<br />
|заглавие=Основы математического анализа<br />
|издательство=«Мир»<br />
|место=Москва<br />
|год=1976<br />
}}<br />
* {{книга<br />
|автор=В. А. Зорич<br />
|ref=Зорич<br />
|заглавие=Математический анализ. Часть 1<br />
|издательство=МЦНМО<br />
|место=Москва<br />
|год=2019<br />
|издание=10-е изд., исправленное<br />
}}<br />
{{refend}}<br />
<br />
== Ссылки ==<br />
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html Dirichlet Function — from MathWorld]<br />
<br />
{{Библиоинформация}} {{^v}}<br />
{{нет сносок|дата=2017-07-08}}<br />
<br />
[[Категория:Функции]]</div>imported>Sldst-bot