imported>Bezik: отклонено последнее 1 изменение от 31.173.103.211: понятнее не стало, а дефиниция стала некорректной

2025-06-19T14:10:46Z

отклонено последнее 1 изменение от 31.173.103.211: понятнее не стало, а дефиниция стала некорректной

Новая страница

'''Функциона́л''' — [[функция (математика)|функция]], заданная на произвольном [[Множество|множестве]] и имеющая числовую [[область значений функции|область значений]]: обычно множество [[вещественное число|вещественных чисел]] <math>\R</math> или [[комплексное число|комплексных чисел]] <math>\mathbb{C}</math>. В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного [[Множество|множества]] в произвольное (не обязательно числовое) [[Кольцо (математика)|кольцо]].

Функционалы изучаются как одно из центральных понятий в [[Функциональный анализ|функциональном анализе]], а основным предметом [[Вариационное исчисление|вариационного исчисления]] является изучение вариаций функционалов.

== Определения ==
Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является [[Топологическое пространство|топологическим пространством]], можно определить [[непрерывный функционал]]; если область определения является [[Линейное пространство|линейным пространством]] над <math>\R</math> или над <math>\mathbb{C}</math>, можно определить [[линейный функционал]]; если область определения является [[Частично упорядоченное множество|упорядоченным множеством]], можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве <math>X</math>, называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство <math>\R</math> или <math>\Complex</math>.

Функционал, заданный на топологическом пространстве <math>X</math>, называется непрерывным в точке <math>x \in X</math>, если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство <math>\R</math> или <math>\Complex</math>.

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется [[Линейный функционал|линейным функционалом]]. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют [[оператор (математика)|оператором]]).

Один из простейших функционалов — [[Проектор (математика)|проекция]] (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т. д.).
Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают ''функцию от функций'', отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле.

Отображение, переводящее вектор в его [[Норма (математика)|норму]], является [[выпуклая функция|выпуклым]] положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется [[Действие (механика)|действие]] — тоже функционал.

Задачи [[Оптимизация (математика)|оптимизации]] формулируются на языке '''функционалов''': найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и тому подобного), доставляющее [[экстремум]] (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в [[Вариационное исчисление|вариационном анализе]].

== Функционал в линейном пространстве ==
Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в [[Линейное пространство|линейном пространстве]], как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство [[скаляр]]ов. Зачастую (например, когда пространство функций
является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.

Особенно важной разновидностью функционалов являются [[Линейный функционал|линейные функционалы]].

== Примеры ==
* [[Норма (математика)|норма]] функции
* значение функции в фиксированной точке
* максимум или минимум функции на отрезке
* величина [[Интеграл Римана|интеграла]] от функции
* длина графика вещественной функции вещественной переменной
* длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути)
* площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов
* [[скалярное произведение]] на фиксированный вектор
* [[Действие (механика)|действие в механике]]
* [[функционал энергии]]

== Литература ==
{{викиучебник|Теория функций действительного переменного/Линейные функционалы}}
* {{Книга:Математическая энциклопедия|автор=[[Соболев, Владимир Иванович (математик)|В. И. Соболев]]|статья=Функционал|5}}
* {{книга
|заглавие=Элементы теории функций и функционального анализа
|ref=Колмогоров
|автор=[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С. В.]]
|издание= изд. четвертое, переработанное |место= М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=[[1976 год|1976]] |страниц=544 |тираж=35000}}
* {{книга |заглавие=Функциональный анализ |автор=[[Рудин, Уолтер|Рудин У.]] |место= М. |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |год=1975 |страниц=443 |ref=Рудин}}

{{вс}}

[[Категория:Функционалы]]
[[Категория:Типы функций]]

Функционал - История изменений

imported>Bezik: отклонено последнее 1 изменение от 31.173.103.211: понятнее не стало, а дефиниция стала некорректной