imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (3)

2025-07-16T10:12:13Z

замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (3)

Новая страница

{{Другие значения|Функтор}}
'''Функтор''' — особый тип отображений между [[Теория категорий|категориями]]. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между [[малая категория|малыми категориями]] являются [[морфизм]]ами в [[категория малых категорий|категории малых категорий]]. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является [[Класс (математика)|классом]]. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в [[Аксиоматика теории множеств|ZFC]] независимой от неё аксиомы о существовании {{iw|Недостижимый кардинал|недостижимых кардиналов|en|Inaccessible cardinal}}.

Впервые функторы начали рассматривать в [[алгебраическая топология|алгебраической топологии]], в которой [[топологическое пространство|топологическим пространствам]] сопоставляются [[алгебра]]ические объекты (например, [[фундаментальная группа]]), а [[непрерывное отображение|непрерывным отображениям]] — [[гомоморфизм]]ы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа [[Карнап, Рудольф|Рудольфа Карнапа]]{{sfn|Маклейн|2004|с=42}}, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию<ref>''Carnap R.'' The Logical Syntax of Language. — Routledge & Kegan Paul, 1937. — P. 13—14.</ref>.

== Определение ==
[[Файл:Functor.svg|мини|Функтор <math>F</math> должен сохранять композицию морфизмов <math>\tau</math> и <math>\sigma</math>]]
'''{{видимый якорь|ковариантный функтор|текст=(Ковариантный) функтор}}''' <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> из [[категория (математика)|категории]] <math>\mathcal{C}</math> в категорию <math>\mathcal{D}</math> — это отображение, которое:
* сопоставляет каждому объекту <math>X\in\mathcal{C}</math> объект <math>\mathcal{F}(X)\in\mathcal{D},</math>
* сопоставляет каждому [[морфизм]]у <math>f:X\to Y</math> в категории <math>\mathcal{C}</math> морфизм <math>\mathcal{F}(f): \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(Y)</math> в категории <math>\mathcal{D}</math>. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
** <math>\mathcal{F}(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{\mathcal{F}(A)}</math>,
** <math>\mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(g)\circ \mathcal{F}(f)</math>.

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, '''{{видимый якорь|контравариантный функтор}}''' — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму <math>f:X\to Y</math> морфизм <math>\mathcal{F}(f): \mathcal{F}(Y) \to \mathcal{F}(X)</math>), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:
: <math>\mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(f)\circ \mathcal{F}(g)</math>.

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из [[двойственная категория|двойственной категории]] <math>\mathcal{C}^\mathrm{op}</math>. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из <math>\mathcal{C}</math> в <math>\mathcal{D}</math>» говорят «функтор из <math>\mathcal{C}^\mathrm{op}</math> в <math>\mathcal{D}</math>» (или, иногда, «функтор из <math>\mathcal{C}</math> в <math>\mathcal{D}^\mathrm{op}</math>»).

== Бифункторы и мультифункторы ==
{{Якорь|Бифунктор}}'''Бифунктор''' — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — [[функтор Hom]], он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из [[категория произведения|категории произведения]]. Например, функтор <math>\mathrm{Hom}</math> имеет вид <math>\mathcal C^\mathrm{op} \times \mathcal C \to \mathbf{Set}</math>.

{{Якорь|Мультифунктор}}'''Мультифунктор''' — это обобщение понятия бифунктора на <math>n</math> переменных.

== Примеры ==
Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, ''тождественный функтор'' и ''антитождественный функтор'', обращающий стрелки.

* Пусть <math>\mathcal{C}</math> — [[подкатегория]] в категории <math>\mathcal{D}</math>. В таком случае определён '''функтор вложения''' <math>I: \mathcal{C} \hookrightarrow \mathcal{D}</math>, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие [[вложение|вложения]] классов.
* {{Якорь|Постоянный функтор}}'''Постоянный функтор:''' функтор, отображающий каждый объект категории <math>\mathcal{C}</math> в фиксированный объект категории <math>\mathcal{D}</math>, а каждый морфизм <math>\mathcal{C}</math> — в тождественный морфизм этого объекта.
* {{Якорь|Эндофунктор}}'''Эндофункторами''' называют любые функторы из категории в себя.
* '''Двойственное векторное пространство''': отображение, сопоставляющее каждому [[векторное пространство|векторному пространству]] [[двойственное пространство|двойственное]] к нему, а каждому [[линейное отображение|линейному отображению]] — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
* Пусть <math>\mathcal{C}</math> — [[конкретная категория]], то есть категория, снабженная [[унивалентный функтор|унивалентным функтором]] в [[категория множеств|категорию множеств]] (частный случай [[забывающий функтор|забывающего функтора]]). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: [[категория групп|категории групп]], [[категория колец]], [[категория множеств]]). [[Сопряжённые функторы|Левый сопряжённый]] (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: [[свободный модуль]]).
* '''Предпучки''': пусть <math>X</math> — [[топологическое пространство]], тогда [[открытое множество|открытые подмножества]] <math>X</math> образуют [[частично упорядоченное множество]] по отношению включения, обозначаемое <math>O(X)</math>. Как и любому частично упорядоченному множеству, <math>O(X)</math> можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм <math>U \to V</math> тогда и только тогда, когда <math>U\subseteq V</math>. Контравариантные функторы из <math>O(X)</math> называются [[предпучок (теория категорий)|предпучками]]. Например, существует функтор в категорию [[действительное число|действительных]] [[алгебра над полем|алгебр]], сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
* '''Фундаментальная группа''': каждому топологическому пространству <math>X</math> [[множество с отмеченной точкой|с отмеченной точкой]] <math>x_0</math> можно сопоставить [[фундаментальная группа|фундаментальную группу]] <math>\pi_1(X, x_0)</math>, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до [[гомотопия|гомотопии]]. Если <math>f: X \to (Y)</math> — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки <math>x_0</math> можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки <math>y_0</math>. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является [[гомоморфизм групп|гомоморфизмом]] из <math>\pi(X, x_0)</math> в <math>\pi(Y, y_0)</math>. Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в [[категория групп|категорию групп]].
* '''Касательное и кокасательное расслоение''': отображение, сопоставляющее [[гладкое многообразие|гладкому многообразию]] его [[касательное расслоение]], а диффеоморфизму многообразий — его [[дифференциал (дифференциальная геометрия)|дифференциал]], является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию [[векторное расслоение|векторных расслоений]]. Аналогично, [[кокасательное расслоение]] и [[кодифференциал (дифференциальная геометрия)|кодифференциал]] диффеоморфизма задают контравариантный функтор.
*: Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.
* '''Тензорное произведение''': если <math>\mathcal{C}</math> — категория векторных пространств над фиксированным полем, [[тензорное произведение]] двух пространств задаёт функтор <math>\mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}</math>, ковариантный по обоим аргументам<ref>{{книга|автор=Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. |заглавие=Algebras, Rings and Modules. Vol. 1|ссылка=https://books.google.ru/books?redir_esc=y&hl=ru&id=AibpdVNkFDYC&pg=PA99&lpg=PA100#v=onepage&q&f=false|место=Dordrecht|издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer Science & Business Media]]|год=2004|allpages=380|серия=Mathematics and Its Applications, vol. 575|isbn=978-1-4020-2690-4}} — P. 99—100.</ref>.
* {{iw|Симплициальные объекты||en|simplicial object}} — произвольные контравариантные функторы из [[симплициальная категория|симплициальной категории]] в различные категории (в [[Категория множеств|категорию множеств]] — [[симплициальное множество]], в [[Категория групп|категорию групп]] — {{iw|симплициальная группа||en|simplicial group}} и другие); конструкции, обобщающие понятие [[Симплициальный комплекс|симплициального комплекса]], играют важную роль в алгебраической топологии.
* Функтор <math>\operatorname{Gal}: \mathbf{Fld}^\mathrm{op} \to \mathbf{Grp}</math> сопоставляет [[Поле (алгебра)|полю]] <math>F</math> его [[Абсолютная группа Галуа|абсолютную группу Галуа]] <math>\operatorname{Gal}(\bar F / F)</math>, а гомоморфизму полей — соответствующий{{прояснить}} гомоморфизм групп Галуа.

== Свойства ==
* Функтор переводит [[коммутативная диаграмма|коммутативные диаграммы]] в коммутативные диаграммы.
* Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
* Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является [[Ассоциативность (математика)|ассоциативной операцией]] (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам [[морфизм]]ов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что [[моноид]]: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

== Связь с другими категорными понятиями ==
Пусть <math>\mathcal{C}</math> и <math>\mathcal{D}</math> — категории. Множество всех морфизмов <math>\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> можно считать множеством объектов другой категории: [[категория функторов|категории функторов]]. Морфизмы в этой категории — [[естественное преобразование|естественные преобразования]] функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи [[универсальное свойство|универсальных свойств]], примеры включают в себя [[тензорное произведение|тензорные произведения]], [[произведение (теория категорий)|произведения]] групп, множеств или векторных пространств, [[прямой предел|прямые]] и [[обратный предел|обратные]] пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару [[сопряжённые функторы|сопряжённых функторов]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{викисловарь|функтор}}
* {{книга|автор=Букур И., Деляну А. |заглавие=Введение в теорию категорий и функторов|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1972|страниц=259|ref=Букур, Деляну}}
* {{книга|автор=[[Маклейн, Саундерс|Маклейн С.]] |часть=Глава 2. Конструкции в категориях|заглавие=Категории для работающего математика|место=М.|издательство=[[Физматлит]]|год=2004|страниц=352|isbn=5-9221-0400-4|ref=Маклейн}} — С. 43—67.
* {{книга|автор=Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. |заглавие=Основы теории категорий|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1974|страниц=256|ref=Цаленко, Шульгейфер}}

== Ссылки ==
* {{cite web|url=http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/|title=Category Theory|author=Marquis, Jean-Pierre.|date=|work=|publisher=Stanford Encyclopedia of Philosophy|description=Включает в себя очень полный список литературы|access-date=2013-07-30|lang=en|archive-url=https://www.webcitation.org/6IqU4EBH1?url=http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/|archive-date=2013-08-13|url-status=live}}

[[Категория:Теория категорий]]

Функтор (математика) - История изменений

imported>Alex NB OT: замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1), замена устаревших имён параметров (3)