imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

2025-11-04T19:51:38Z

удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

Новая страница

{{другие значения|Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Формулы}}
[[Файл:Euler's formula.svg|thumb|296px|Геометрический смысл формулы Эйлера]]
'''Формула Эйлера''' связывает [[комплексные числа|комплексную]] [[экспонента|экспоненту]] с [[тригонометрические функции|тригонометрическими функциями]]. Названа в честь [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]], который её ввёл.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа <math>x</math> выполнено следующее равенство:
: <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>,
где <math>e</math> — [[e (число)|одна из важнейших математических констант]], определяющаяся следующей формулой: <math>e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>,
: <math>i</math> — [[мнимая единица]].

== История ==
Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика [[Роджер Котс|Роджера Котса]] (помощника [[Ньютон, Исаак|Ньютона]]) «Логометрия» ({{lang-la|Logometria}}), опубликованной в журнале «[[Философские труды Королевского общества]]» в [[1714 год]]у<ref>{{статья |заглавие=Logometria |издание=[[Philosophical Transactions of the Royal Society|Philosophical Transactions of the Royal Society of London]] |том=29 |страницы=32 |ссылка=http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/29/338-350/5.full.pdf+html |doi=10.1098/rstl.1714.0002 |язык=en |автор=Cotes R. |год=1714-1716 |тип=journal |archive-date=2017-07-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170706102723/http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/29/338-350/5.full.pdf%20html }}</ref> и перепечатана в книге «Гармония мер» ({{lang-la|Harmonia mensurarum}}), которая была издана в [[1722 год]]у, уже после смерти автора<ref>{{книга |заглавие=Harmonia mensurarum |год=1722 |страницы=28 |ссылка=https://books.google.com/books?id=J6BGAAAAcAAJ&pg=PA28 |язык= |автор=Cotes R. |archive-date=2020-06-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200607220715/https://books.google.com/books?id=J6BGAAAAcAAJ&pg=PA28 }}</ref>. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид<ref>{{книга |заглавие=Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History |год=2011 |страницы=182 |ссылка=https://books.google.com/books?id=0sTd4qJgOmsC&pg=PA182 |язык=en |автор=González-Velasco Enrique A. |archive-date=2014-10-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141019161302/https://books.google.com/books?id=0sTd4qJgOmsC&pg=PA182 }}</ref>:
: <math>\ln(\cos x+i\sin x)=i x</math>.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье [[1740 год]]а и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» ({{lang-la|Introductio in analysin infinitorum}}) ([[1748]])<ref>{{книга |заглавие=Introductio in analysin infinitorum |год=1748 |часть=Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis |страницы=104 |том=1 |ссылка=https://archive.org/stream/introductioanaly00eule#page/104/mode/2up |язык= |автор=Euler L.}}</ref>, построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] появилось примерно 50 лет спустя у [[Вессель, Каспар|К. Весселя]].

== Производные формулы ==
При помощи формулы Эйлера можно определить функции <math>\sin</math> и <math>\cos</math> следующим образом:
: <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>,
: <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math>.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть <math>x=iy</math>, тогда:
: <math>\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y</math>,
: <math>\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y</math>.

Известное [[Тождество Эйлера (комплексный анализ)|тождество Эйлера]], связывающее три фундаментальные математические константы:
: <math>e^{i\pi}+1=0</math>
является частным случаем формулы Эйлера при <math>x=\pi</math>.

== Применение в теории чисел ==
{{основная статья|Тригонометрическая сумма}}

В [[Аналитическая теория чисел|аналитической теории чисел]] часто рассматриваются [[Тригонометрическая сумма|специальные суммы]] вида <math>\sum \limits_{x \in X} {e^{2 \pi i f(x)}}</math>, где <math>X</math> — некоторое множество рассматриваемых объектов, а <math>f:\ X \to {\mathbb R}</math> — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.

Для теории чисел, изучающей [[целые числа]], имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера [[Нотация Айверсона|индикаторные]] тождества, касающиеся произвольного целого числа <math>n</math>.

: <math>\sum \limits_{k=1}^{p} {e^{2 \pi \frac{nk}{p} i}} = p [p | n] = \left\{{ \begin{matrix} p, & n \equiv 0 \pmod p \\ 0, & n \not \equiv 0 \pmod p \end{matrix} }\right.</math>
: <math>\int \limits_{0}^{1} {e^{2 \pi n \alpha i}} = [n = 0] = \left\{{ \begin{matrix} 1, & n = 0 \\ 0, & n \not = 0 \end{matrix} }\right.</math>

== Применение в комплексном анализе ==
Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: <math>x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}</math>.

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: <math>x=|x|e^{i\varphi}</math>, <math>x^n=|x|^ne^{ni\varphi}</math>. Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа <math>x</math> в степень <math>n</math> его расстояние до центра возводится в степень <math>n</math>, а угол поворота относительно оси <math>OX</math> увеличивается в <math>n</math> раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых <math>n</math>, но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.

== Взаимосвязь с тригонометрией ==
Формула Эйлера предоставляет связь между [[математический анализ|математическим анализом]] и [[Тригонометрия|тригонометрией]], а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как [[Весовая функция|взвешенные суммы]] экспоненциальной функции''':'''

: <math>\cos x = \mathrm{Re}\left(e^{ix}\right) ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math display="inline">\sin x = \mathrm{Im}\left(e^{ix}\right) ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера''':'''

: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>

: <math display="inline">e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;</math>

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку ''x'' = ''iy'', получаем''':'''

: <math> \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>

: <math> \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y). </math>

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например''':'''

: <math>
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}
</math>

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например''':'''

: <math>
\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \}
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x].
\end{align}</math>

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(''nx'') для целых значений ''n'' и произвольных значений ''x'' (в радианах).

== Доказательство ==
Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием [[ряд Тейлора|ряда Маклорена]]. Разложим функцию <math>e^{ix}</math> в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням <math>x</math>. Получим:

<math>e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)</math>

Но

<math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x</math>

<math>\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x</math>

Поэтому <math>e^{ix}=\cos x + i\sin x</math>, [[Q.E.D.|что и требовалось доказать]].

=== Наглядная демонстрация ===
[[Показательная функция#Определение показательной функции|Известно]], что <math>e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n</math>.
Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел <math>e^{i\varphi} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{i\varphi}{n}\right)^n</math> равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется <math>\varphi</math>. Это, в частности, связано с тем, что <math>\lim \limits_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x}} = 1</math>.
<gallery mode="packed" heights="200px">
File:Euler's formula n1.png|n=1
File:Euler's formula n2.png|n=2
File:Euler's formula n3.png|n=3
File:Euler's formula n4.png|n=4
File:Euler's formula n5.png|n=5
File:Euler's formula n6.png|n=6
File:Euler's formula n8.png|n=8
File:Euler's formula n16.png|n=16
</gallery>

Процесс изменения <math>e^{\varphi i}</math> при изменении <math>\varphi</math> можно также наглядно продемонстрировать через [[Производная функции|производную]].
Общеизвестно, что <math>\left({e^x}\right)' = e^x</math> и <math>\left({e^{f(x)}}\right)' = f'(x) e^{f(x)}</math>. Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию <math>f(\varphi) = e^{\varphi i}</math>, получим <math>f'(\varphi) = i f(\varphi)</math>. Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на <math>i</math> аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции <math>f(\varphi) = e^{\varphi i}</math> и её производной будет аналогично чертежу действия [[Центростремительная сила|центростремительной силы]], для которого известен физический смысл.

== Показательная форма [[Комплексное число|комплексного числа]] ==
Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число <math> z </math> в тригонометрической форме имеет вид <math> z = r(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math> . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
: <math> z = re^{i\varphi} </math>

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь <math> r = |z| </math> ''',''' <math> \varphi = \arg z </math>.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* [http://www.phys-math.ru/_media/conf75/fizmat75-conf-v1.pdf Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37.] {{Wayback|url=http://www.phys-math.ru/_media/conf75/fizmat75-conf-v1.pdf |date=20200925153938 }}
* {{книга |автор=Корн Г., Корн Т. |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu
|заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров)
|издательство=Наука |место=М. |год=1973 }}
* {{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие=Математика и её история |ссылка=http://lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MSch_School-level/Stillvell%20Dzh.%20Matematika%20i%20ee%20istorija%20(RXD,%202004)(ru)(L)(T)(266s).djvu |место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150607032635/http://lib.homelinux.org/_djvu/M_Mathematics/MSch_School-level/Stillvell%20Dzh.%20Matematika%20i%20ee%20istorija%20(RXD,%202004)(ru)(L)(T)(266s).djvu|archive-date=2015-06-07}}

{{внешние ссылки}}

[[Категория:Тригонометрия]]
[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]

Формула Эйлера - История изменений

imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён