imported>100Z: Константа сливается с формулой и вносит путаницу

2024-09-08T03:45:28Z

Константа сливается с формулой и вносит путаницу

Новая страница

[[Файл:Stirling's Approximation.svg|мини|right|270px|Отношение (ln ''n''!) к (''n'' ln ''n'' − ''n'') стремится к 1 с увеличением ''n'']]

В математике '''формула Стирлинга''' (также '''формула Муавра — Стирлинга''') — формула для [[Приближённые вычисления|приближённого вычисления]] [[факториал]]а и [[Гамма-функция|гамма-функции]]. Названа в честь [[Стирлинг, Джеймс|Джеймса Стирлинга]] и [[Муавр, Абрахам де|Абрахама де Муавра]], последний считается автором формулы<ref>{{citation |last=Pearson |first=Karl |title=Historical note on the origin of the normal curve of errors |journal=Biometrika |year=1924|volume=16|pages=402–404 [p. 403] |doi=10.2307/2331714}}: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна <math>\sqrt{2\pi}</math>. Я считаю, что это не делает его автором теоремы».</ref>.

Наиболее используемый вариант формулы:

: <math>\ln \Gamma(n + 1) = \ln n! = n \ln n - n + O(\ln n).</math>

Следующий член в <math>O(\ln n)</math> это <math>\frac{1}{2}\ln(2\pi n)</math>; таким образом более точная аппроксимация:

: <math>\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1,</math>

что эквивалентно

: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Часто формулу Стирлинга записывают в виде

: <math>n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \frac{\theta_n}{12 n},</math>

где <math>0 < \theta_n < 1</math>, <math>n > 0</math>.
Более точную оценку даёт формула

: <math>n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \frac{1}{12 n + \theta_n},</math>

где <math>0 < \theta_n < 1</math>, <math>n > 0</math>.

В последней формуле максимальное значение <math>\theta_n</math> в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.

Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в '''ряд Стирлинга''', который при <math>n > 0</math> имеет вид

: <math>\begin{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}} =\\
&= \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} - \frac{571}{2488320n^4} + \cdots\right) = \\
&= \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{(2^1)(6n)^1} + \frac{1}{(2^3)(6n)^2} - \frac{139}{(2^3)(2 \cdot 3 \cdot 5)(6n)^3} - {}\right. \\
&\qquad \left.{} - \frac{571}{(2^6)(2 \cdot 3 \cdot 5)(6n)^4} + \cdots\right),
\end{align}</math>
где <math>B_j</math> — [[числа Бернулли]] с номером <math>j</math>.

В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как [[Расходящийся ряд|ряд расходится]] при каждом фиксированном <math>n</math>, однако он является [[Асимптотическое разложение|асимптотическим разложением]] факториала при <math>n\to\infty</math>.

== Ссылки ==
{{примечания}}

{{вс}}
{{math-stub}}

[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Теория приближений]]

Формула Стирлинга - История изменений

imported>100Z: Константа сливается с формулой и вносит путаницу