imported>KrokoDrill: Удалена Категория:Многочлены с помощью HotCat

2026-03-04T04:11:57Z

Удалена Категория:Многочлены с помощью HotCat

Новая страница

'''Фо́рмула Карда́но''' — формула для нахождения корней канонической формы [[кубическое уравнение|кубического уравнения]]
: <math>y^3+py+q=0</math>
над полем [[Комплексное число|комплексных чисел]]. Названа в честь итальянского математика [[Кардано, Джероламо|Джероламо Кардано]], опубликовавшего её в 1545 году<ref>{{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие=Математика и её история |ссылка=http://www.enu.kz/repository/repository2014/matematika-i-ee.pdf |место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 |страницы=101 |archive-date=2014-10-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141021030532/http://www.enu.kz/repository/repository2014/matematika-i-ee.pdf }} {{Cite web |url=http://www.enu.kz/repository/repository2014/matematika-i-ee.pdf |title=Архивированная копия |access-date=2020-05-20 |archive-date=2014-10-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141021030532/http://www.enu.kz/repository/repository2014/matematika-i-ee.pdf |url-status=unfit }}</ref>. В 1545 году [[Никколо Тарталья]] обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «[[Ars Magna (Кардано)|Ars Magna]]» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются [[Сципион дель Ферро]] и Тарталья, алгоритм ныне известен под [[Закон Стиглера|незаслуженным названием]] «формула Кардано»<ref>{{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие=Математика и её история |место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 |страницы=101}}</ref>.

Любое кубическое уравнение общего вида
: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
при помощи замены переменной
:<math>x = y - \frac{b}{3a}</math>
может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
: <math>p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2},</math>
: <math>q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}.</math>

== Формула ==
Определим величину{{sfn |Справочник по высшей математике|1999|с=144|name=SVM}}:

: <math> Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2.</math>

Если все коэффициенты кубического уравнения [[Вещественное число|вещественны]], то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней<ref name=SVM/>:

* <math>Q > 0</math> — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
* <math>Q = 0</math> — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если <math>p = q = 0</math>, то один трёхкратный вещественный корень.
* <math>Q < 0</math> — три вещественных корня. Это так называемый «[[Casus irreducibilis|неприводимый]]» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел<ref name=SVM/>.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:


: <math>y_1 = \alpha + \beta, </math>

: <math> y_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3}, </math>

где
: <math> \alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} }, </math>
: <math> \beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} }, </math>

[[Дискриминант]] [[многочлен]]а <math>y^3+py+q</math> при этом равен <math>\Delta = - 108 Q</math>.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений <math>\alpha</math> необходимо брать такое <math>\beta</math>, для которого выполняется условие <math>\alpha\beta=-p/3</math> (такое значение <math>\beta</math> всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения <math>\alpha, \beta</math>.

{{Hider|
title = Вывод |
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content = 
Представим уравнение в виде
:<math>\prod^3_{i=1}(y-y_i) = 0 \qquad (1)</math>
где <math>y_i</math> - корни уравнения. Тогда
:<math>\prod^3_{i=1}(y_i) = -q. \qquad (2)</math>

Примем:
:<math>\ -q=\alpha^3 + \beta^3 \qquad (3)</math>

Тогда, решая уравнение (3) получим

:<math>\ -q=( \alpha + \beta )(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha \beta) \qquad (4)</math>

Одним из корней будет <math>\ y=\alpha+\beta</math>. Подставив его в исходное уравнение, получим:

:<math>\alpha^3 + \beta^3+ (3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)+q=0</math>

Подставляя q из (3), приходим к системе:

:<math>\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.</math>

:Зная, что в общем случае сумма <math>\alpha+\beta</math> не равна нулю, получаем систему

:<math>\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.</math>

которая равносильна системе
:<math>\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27}=m \\ \alpha^3 + \beta^3=-q=-n\end{matrix}\right.</math>

Последняя представляет собой [[формулы Виета]] для двух корней <math>\alpha^3</math> и <math>\beta^3</math> квадратного уравнения:
:<math>\ z^2+nz+m=0</math>

Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена

:<math>\ \alpha^2 + \beta^2 - \alpha \beta </math>
}}

== См. также ==
* [[Кубическое уравнение]]
* [[Метод Феррари]]
* [[Резольвента алгебраического уравнения]]
* [[Тарталья, Никколо]]
* [[Теорема Абеля — Руффини]]

== Литература ==
* {{книга |автор=Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. |ref=Справочник по высшей математике
|заглавие=Справочник по высшей математике в двух томах |страниц=640
|издательство=Тетрасистемс |место=Минск |год=1999 |isbn=985-6317-51-7 }}
* {{книга |автор=Корн Г., Корн Т. |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu
|заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |страниц=720
|издательство=Наука |место=М. |год=1973 |ref=Корн Г., Корн Т. Справочник по математике }}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
* http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf

{{rq|
{{нет сносок|дата=2013-09-01}}
{{оформить литературу|дата=2013-09-01}}
}}

[[Категория:Алгебраические уравнения]]

Формула Кардано - История изменений

imported>KrokoDrill: Удалена Категория:Многочлены с помощью HotCat