imported>Tosha: отмена правки 151141126 участника 95.104.167.44 (обс.)

2026-01-18T00:42:12Z

отмена правки 151141126 участника 95.104.167.44 (обс.)

Новая страница

'''Фо́рмула Герона''' — формула для вычисления [[площадь (геометрия)|площади]] [[треугольник]]а <math>S</math> по длинам его сторон <math>a, b, c</math>:
: <math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>,

где <math>p</math> — [[периметр|полупериметр]] треугольника: <math>p = \tfrac{1}{2}\cdot(a+b+c)</math>.

Формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё [[Архимед]]у). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название [[Геронов треугольник|героновых]], простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]].

{{Hider|
title = Доказательство 1 (тригонометрическое):|
hidden = 0 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
: <math>S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}</math>,
где <math>\ \gamma</math> — угол треугольника, ''противолежащий стороне'' <math>c</math>.
По [[теорема косинусов|теореме косинусов]]:
: <math>c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,</math>
Отсюда:
: <math>\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},</math>
Значит,
: <math>\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=</math>

: <math>={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=</math>

: <math>={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)</math>.

Замечая, что <math>a+b+c=2p</math>, <math>a+b-c=2p-2c</math>, <math>a+c-b=2p-2b</math>, <math>c-a+b=2p-2a</math>, получаем:
: <math>\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.</math>
Таким образом,
: <math>S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math>
[[ч.т.д.]]}}

{{Hider|
title = Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):|
hidden = 0 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
[[Image:Triangle with notations 3.svg|thumb|270px|Треугольник со сторонами {{math|''a, b, c''}} и высотой {{math|''h''}}, разделяющей основание {{math|''c''}} на {{math|''d'' и (''c'' − ''d'')}}.]]
По [[теорема Пифагора|теореме Пифагора]] имеем следующие равенства для гипотенуз: {{math|''a''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + (''c'' − ''d''){{sup|2}}}} и {{math|''b''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + ''d''{{sup|2}}}} — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем {{math|''a''{{sup|2}} − ''b''{{sup|2}} {{=}} ''c''{{sup|2}} − 2''cd''}}. Это уравнение позволяет нам выразить {{math|''d''}} через стороны треугольника:
:<math>d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}</math>
Для высоты {{math|''h''}} у нас было равенство {{math|''h''{{sup|2}} {{=}} ''b''{{sup|2}} − ''d''{{sup|2}}}}, в которое можно подставить полученное выражение для {{math|''d''}} и применить [[Формулы сокращённого умножения многочленов#Формулы для квадратов|формулы для квадратов]]:
:<math>
\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2 = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
\end{align}
</math>

Замечая, что <math>b+c-a=2p-2a</math>, <math>a+b+c=2p</math>, <math>a+b-c=2p-2c</math>, <math>a-b+c=2p-2b</math>, получаем:
:<math>
\begin{align}
h^2 & = \frac{2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^2} = \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}
\end{align}
</math>

Используя основное равенство для площади треугольника <math>S = \frac{ch}2</math> и подставляя в него полученное выражение для {{math|''h''}}, в итоге имеем:
:<math>
\begin{align}
S = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\end{align}
</math>
[[ч.т.д.]]}}

== Вариации и обобщения==
*Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.</math>
*: <math>S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math>

*Формулу Герона можно записать с помощью [[определитель|определителя]] в виде<ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron’s Formula.] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html |date=20150905172827 }} From MathWorld--A Wolfram Web Resource.</ref>:
*: <math>-16 S^2 = \begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0 & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
a & b & c & 0 \\
b & a & 0 & c \\
c & 0 & a & b \\
0 & c & b & a
\end{vmatrix}
</math>
:Первый определитель последней формулы является частным случаем [[Определитель_Кэли_—_Менгера|определителя Кэли — Менгера]] для вычисления гиперобъёма [[симплекс]]а.

*Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан <math>m_a</math>, <math>m_b</math> и <math>m_c</math> и их полусумму <math>\sigma = (m_a + m_b + m_c)/2</math><ref>Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « ''Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.</ref>:
*: <math>S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}</math>;
:через длины высот <math>h_a</math>, <math>h_b</math> и <math>h_c</math> и полусумму их обратных величин <math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>:
:: <math> S^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} </math>;
:через углы треугольника <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> и <math>\gamma</math>, полусумму их синусов <math>s = (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)/2</math> и диаметр описанной окружности <math>D = \tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}</math><ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108—109.</ref>:
:: <math>S = D^{2} \sqrt{s(s-\sin \alpha)(s-\sin \beta)(s-\sin \gamma)}.</math>

*Площадь вписанного в окружность [[четырёхугольник]]а вычисляется по [[Формула Брахмагупты|формуле Брахмагупты]]:
*: <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math>,
:где <math>p=\frac{a+b+c+d}2</math> — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель<ref>Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39</ref>:
:: <math>S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & -d & a & b \\
-d & c & b & a
\end{vmatrix}}
</math>

*Для [[тетраэдр]]ов верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников ([[изгибаемые многогранники]]): если у [[тетраэдр]]а длины рёбер равны <math>l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6</math>, то для его объёма <math>V</math> верно выражение:
*: <math>\begin{align}144 V^2 = \;\; & l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) \\
+ & l_2^2 l_6^2 (l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) \\
+ & l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) \\
- & l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2
\end{align}</math>.

*Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если <math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math>, <math>u</math>, <math>v</math>, <math>w</math> являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро <math>u</math> противоположно ребру <math>U</math> и так далее), тогда справедливы формулы<ref>W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf] {{Wayback|url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf |date=20130627001208 }}, pp. 16-17.</ref><ref> Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132 </ref>:
*: <math>
\text{V} = \frac{\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}{192\,u\,v\,w}</math>
[[File:tetrahedron_volume.svg|thumb|96px|тетраэдра ''UVWuvw'']]
:где:
:: <math>
\begin{align} a & = \sqrt {xYZ} \\ b & = \sqrt {yZX} \\ c & = \sqrt {zXY} \\ d & = \sqrt {xyz} \\ X & = (w - U + v)\,(U + v + w) \\ x & = (U - v + w)\,(v - w + U) \\ Y & = (u - V + w)\,(V + w + u) \\ y & = (V - w + u)\,(w - u + V) \\ Z & = (v - W + u)\,(W + u + v) \\ z & = (W - u + v)\,(u - v + W) \end{align}
</math>.

*По теореме [[Люилье, Симон|Люилье]] площадь [[сферический треугольник|сферического треугольника]] выражается через его стороны <math>\theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R}</math> как:
*: <math>S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} </math>,
:где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* § 258 в {{cite arXiv|author=А. П. Киселёв|eprint=1806.06942 |class=math.HO |title=[[Элементарная геометрия (Киселёв)|Геометрия по Киселёву]]}}
* {{статья |автор= Николаев Н.|заглавие= О площади треугольника|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/10803/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 108|страницы= 227—228}}
* {{статья
|заглавие=A Simpler Proof of Heron's Formula
|ссылка=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1971-01_44_1/page/27
|издание=[[Mathematics Magazine]]
|том=44
|страницы=27—28
|язык=en
|автор=Raifaizen, Claude H.
|год=1971
|тип=magazine}} — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора

{{Треугольник}}
{{внешние ссылки}}

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Герона]]
[[Категория:Площадь]]

Формула Герона - История изменений

imported>Tosha: отмена правки 151141126 участника 95.104.167.44 (обс.)