imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:46:27Z

Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

{{Механика сплошных сред}}
'''Уравнение диффузии''' представляет собой частный вид [[дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]] в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении ''уравнения диффузии'' речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении ''уравнения теплопроводности'' речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана [[теплоёмкость]] и [[теплопроводность]] среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

* В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется [[уравнение переноса]], расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.

* Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является [[уравнение Шрёдингера]], отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

== Общий вид ==

Уравнение обычно записывается так:

{{Equation box 1
|equation=<math>\frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\varphi,\mathbf{r}) \ \nabla\varphi(\mathbf{r},t) \big], </math>
|indent=:
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

где {{math|φ('''r''', ''t'')}} — плотность диффундирующего вещества в точке {{math|'''r'''}} и во время {{math|''t''}} и {{math|''D''(φ, '''r''')}} — обобщённый [[коэффициент диффузии]] для плотности {{math|φ}} в точке {{math|'''r'''}}; {{math|∇}} — [[оператор набла]]. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Если {{math|''D''}} — симметричный [[Положительно определённая матрица|положительно определённый оператор]], уравнение описывает анизотропную диффузию:

{{Equation box 1
|equation=<math>\frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left[D_{ij}(\varphi,\mathbf{r})\frac{\partial \varphi(\mathbf{r},t)}{\partial x_j}\right].</math>
|indent=:
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour=#ECFCF4}}

Если {{math|''D''}} постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

: <math>\frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\mathbf{r},t), </math>

также называемому [[Уравнение теплопроводности|уравнением теплопроводности]].

== История происхождения ==

[[Закон диффузии Фика|Дифференциальное уравнение в частных производных]] было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.<ref>''Fick A.'', Ueber Diffusion, Pogg. Ann. Phys. Chem.— 1855.— 170 (4. Reihe 94).— pp. 59-86.</ref>

== Нестационарное уравнение ==
''Нестационарное'' уравнение диффузии классифицируется как [[Параболические уравнения|'''параболическое''' дифференциальное уравнение]]. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие [[диффузия|диффузии]] или перераспределение [[температура|температуры]] тела в результате [[теплопроводность|теплопроводности]].

=== Одномерный случай ===
В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) <math>D</math> уравнение имеет вид:
: <math>\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=\frac{\partial}{\partial x}D\frac{\partial}{\partial x}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).</math>
При постоянном <math>D</math> приобретает вид:
: <math>\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),</math>
где <math>c(x,\;t)</math> — концентрация диффундирующего вещества, a <math>f(x,\;t)</math> — функция, описывающая источники вещества (тепла).

=== Трёхмерный случай ===
В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:
: <math>\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r},\;t))+f(\vec{r},\;t),</math>
где <math>\nabla=(\partial_x,\;\partial_y,\;\partial_z)</math> — [[оператор набла]], а <math>(\;,\;)</math> — скалярное произведение. Оно также может быть записано как
: <math>\partial_t c=\mathbf{div}\,(D\,\mathbf{grad}\,c)+f,</math>
а при постоянном <math>D</math> приобретает вид:
: <math>\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=D\Delta c(\vec{r},\;t)+f(\vec{r},\;t),</math>
где <math>\Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}</math> — [[оператор Лапласа]].

=== ''n''-мерный случай ===
<math>n</math>-мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать <math>n</math>-мерные версии соответствующих операторов:
: <math>\nabla=(\partial_1,\;\partial_2,\;\ldots,\;\partial_n),</math>
: <math>\Delta=\nabla^2=\partial_1^2+\partial_2^2+\ldots+\partial_n^2.</math>
Это касается и двумерного случая <math>n=2</math>.

=== Мотивация ===

==== A. ====
Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):
: <math>\Phi=-\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}</math> (одномерный случай),
: <math>\mathbf j=-\varkappa\nabla c</math> (для любой размерности),
в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):
: <math>\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x}=0</math> (одномерный случай),
: <math>\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{div}\,\mathbf j=0</math> (для любой размерности),
с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).
* Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
* Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

==== B. ====
Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или <math>n</math>-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции <math>c</math> в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью).

=== Решение ===
'''В одномерном случае''' [[Функция Грина|фундаментальное решение]] однородного уравнения с постоянным — не зависящим от <math>x</math> и <math>t</math> — <math>D</math> (при начальном условии, выражаемом [[дельта-функция|дельта-функцией]] <math>c_f(x,\;0)=\delta(x)</math> и граничном условии <math>c_f(\infty,\;t)=0</math>) есть
: <math>c_f(x,\;t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right).</math>
В этом случае <math>c_f(x,\;t)</math> можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время <math>t</math> перейдёт в пункт с координатой <math>x</math>. То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки
: <math>\langle x^2\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 c_f(x,\;t)\,dx=2Dt.</math>



В случае произвольного начального распределения <math>c(x,\;0)</math> общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как [[Свёртка (математический анализ)|свёртка]]:
: <math>c(x,\;t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)c_f(x-x',\;t)\,dx'=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4Dt}\right)\,dx'.</math>

=== Физические замечания ===
Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

== Стационарное уравнение ==
В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается '''стационарное уравнение теплопроводности''', относящееся к классу [[Эллиптические уравнения|эллиптических уравнений]]. Его общий вид:
: <math>-(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r}))=f(\vec{r}).</math>
* При <math>D</math>, не зависящем от <math>\vec{r}</math>, стационарное уравнение диффузии становится [[уравнение Пуассона|уравнением Пуассона]] (неоднородное), или [[уравнение Лапласа|уравнением Лапласа]] (однородное, то есть при <math>f=0</math>):
: <math>\Delta c(\vec{r})=-\frac{f(\vec{r})}{D},</math>
: <math>\Delta c(\vec{r})=0.</math>

== Постановка краевых задач ==
* '''Задача с начальными условиями ([[задача Коши]]) о распределении температуры на бесконечной прямой'''
Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

''Найти решение уравнения теплопроводности в области <math>-\infty\leqslant x\leqslant +\infty</math> и <math>t\geqslant t_0</math>, удовлетворяющее условию <math>u(x,\;t_0)=\varphi(x)\quad(-\infty<x<+\infty)</math>, где <math>\varphi(x)</math> — заданная функция.''
* '''Первая краевая задача для полубесконечного стержня'''
Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

''Найти решение уравнения теплопроводности в области <math>-\infty\leqslant x\leqslant +\infty</math> и <math>t\geqslant t_0</math>, удовлетворяющее условиям
: <math>\left\{\begin{array}{l}
u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0<x<\infty) \\
u(0,\;t)=\mu(t),\quad(t\geqslant t_0)
\end{array}\right.</math>
где <math>\varphi(x)</math> и <math>\mu(t)</math> — заданные функции.''

* '''Краевая задача без начальных условий'''
Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

''Найти решение уравнения теплопроводности в области <math>0\leqslant x\leqslant l</math> и <math>-\infty<t</math>, удовлетворяющее условиям
: <math>\left\{\begin{array}{l}
u(0,\;t)=\mu _1(t), \\
u(l,\;t)=\mu _2(t),
\end{array}\right.</math>
где <math>\mu_1(t)</math> и <math>\mu_2(t)</math> — заданные функции.

* '''Краевые задачи для ограниченного стержня'''
Рассмотрим следующую краевую задачу:
: <math>u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T</math> — уравнение теплопроводности.
Если <math>f(x,\;t)=0</math>, то такое уравнение называют ''однородным'', в противном случае — ''неоднородным''.
: <math>u(x,\;0)=\varphi(x),\quad 0\leqslant x\leqslant l</math> — начальное условие в момент времени <math>t=0</math>, температура в точке <math>x</math> задается функцией <math>\varphi(x)</math>.
: <math>\left.\begin{array}{l}
u(0,\;t)=\mu_1(t), \\
u(l,\;t)=\mu_2(t),
\end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T</math> — краевые условия. Функции <math>\mu_1(t)</math> и <math>\mu_2(t)</math> задают значение температуры в граничных точках 0 и <math>l</math> в любой момент времени <math>t</math>.

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай (<math>\alpha_i^2+\beta_i^2\ne 0,\;(i=1,\;2)</math>).
: <math>\begin{array}{l}
\alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\
\alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t).
\end{array}</math>

Если <math>\alpha_i=0,\;(i=1,\;2)</math>, то такое условие называют ''условием первого рода'', если <math>\beta_i=0,\;(i=1,\;2)</math> — ''второго рода'', а если <math>\alpha_i</math> и <math>\beta_i</math> отличны от нуля, то условием ''третьего рода''. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

== [[Принцип максимума модуля|Принцип максимума]] ==
Пусть функция <math>u(x,\;t)</math> в пространстве <math>D\times[0,\;T],\;D\in\R^n</math>, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности <math>\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=0</math>, причем <math>D</math> — ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция <math>u(x,\;t)</math> может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области <math>D</math>.
== Примечания ==
{{примечания}}
{{Математическая физика}}
{{rq|
{{нет источников|дата=2010-05-21}}
{{нет иллюстрации|дата=2010-05-21}}
}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных|Диффузии уравнение]]
[[Категория:Диффузия]]

Уравнение диффузии - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО