imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T08:32:12Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

[[Файл:Números triangulares.png|right|200px]]
'''Треугольное число''' — один из классов [[Многоугольные числа|фигурных многоугольных чисел]], определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме [[Правильный треугольник|правильного треугольника]]. Как видно из рисунка, {{s|<math>n</math>-е}} треугольное число <math>T_n</math> — это сумма <math>n</math> первых [[Натуральное число|натуральных чисел]]:
:<math>\begin{align}
T_1 &= 1 &=&\ 1\\
T_2 &= 1 + 2 &=&\ 3\\
T_3 &= 1 + 2 + 3 &=&\ 6\\
T_4 &= 1 + 2 + 3 + 4 &=&\ 10\\
\end{align}</math>
и т. д. Общая формула для <math>n</math>-го по порядку треугольного числа:
: <math>T_n=\frac12n(n+1),\; n=1,2,3\dots</math>;

Последовательность треугольных чисел <math>T_n</math> бесконечна. Она начинается так:
: [[1 (число)|1]], [[3 (число)|3]], [[6 (число)|6]], [[10 (число)|10]], [[15 (число)|15]], [[21 (число)|21]], [[28 (число)|28]], [[36 (число)|36]], [[45 (число)|45]], [[55 (число)|55]], [[66 (число)|66]], [[78 (число)|78]], [[91 (число)|91]], 105, 120 … ({{OEIS|A000217}})
Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер <math>n=0.</math>

Треугольные числа играют значительную роль в [[Комбинаторика|комбинаторике]] и [[Теория чисел|теории чисел]]{{переход|Применение}}, они тесно связаны с многими другими классами [[Целое число|целых чисел]]{{переход|Связь с другими классами чисел}}.

== Свойства ==
Рекуррентная формула для {{math|''n''}}-го треугольного числа{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=16}}:
: <math>T_n=T_{n-1}+n</math>.
[[Файл:Somme-de-quatre-nombres-triangulaires (impair).jpg|мини|слева|135px|Разложение треугольного числа с нечётным номером.]]
[[Файл:Somme-de-quatre-nombres-triangulaires (pair).jpg|мини|справа|135px|Разложение треугольного числа с чётным номером]]
Следствия (<math>n>1</math>){{sfn |Villemin}}{{sfn |Деза Е.|2011|с=24—25, 29}}:
: <math>T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1</math>.
: <math>T_{n+1} + T_{n-1} = 2T_n + 1</math>.
: <math>T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_n</math> (см. рисунок слева).
: <math>T_{2n}=3T_n+T_{n-1}</math>. (см. рисунок справа).
Ещё две формулы легко доказать [[Доказательство по индукции|по индукции]]{{sfn |Деза Е.|2011|с=66}}:
: <math>T_{m+n} = T_m + T_n + mn</math>
: <math>T_{mn} = T_m T_n + T_{m-1}T_{n-1}</math>

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, [[Составное число|составные]]. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифрой{{sfn |Villemin}} <math>2,4,7,9.</math> Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) [[Треугольник Паскаля|треугольника Паскаля]] состоит из треугольных чисел{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=188}}.

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формул{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=71}}:
: <math>S_{m-1}=1+3+6+\dots+ \frac{(m-1)m}{2} = \frac{m^3- m}{6}</math>
или:
: <math>S_{m}=1+3+6+\dots+ \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m(m+1)(m+2)}{6}</math>

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. [[Телескопический ряд]]):
: <math>1 + {1 \over 3}+{1 \over 6} + {1 \over 10} + {1 \over 15}+\dots=2\sum_{n=1}^{\infty} \left({1 \over n} - {1 \over n+1}\right) = 2</math>

[[Файл:8 3eckszahl 4.PNG|мини|Восемь треугольных чисел и ещё одна точка образуют [[полный квадрат]]]]
== Критерий треугольности числа ==
Натуральное число <math>x</math> является треугольным тогда и только тогда, когда число <math>8x+1</math> является [[квадратное число|полным квадратом]].

В самом деле, если <math>x</math> треугольное, то <math>8x+1= 8\frac{n(n+1)}{2} +1=4n^2+4n+1 = (2n+1)^2.</math> Обратно, число <math>8x+1</math> нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа <math>a,</math> то <math>a</math> тоже нечётно: <math>a=2n+1,</math> и мы получаем равенство: <math>8x+1=(2n+1)^2=4n^2+4n+1,</math> откуда: <math>x=\frac{n(n+1)}{2}</math> — треугольное число {{ЧТД}}.

Следствие: номер числа <math>x</math> в последовательности треугольных чисел определяется формулой:
: <math> n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.</math>

== Применение ==
{{also|{{OEIS_short|A000217}}}}
Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как [[биномиальный коэффициент]] <math>T_n = C^2_{n+1}</math> число <math>T_n</math> определяет число [[Сочетание|сочетаний]] для выбора двух элементов из <math>n+1</math> возможных.

[[Файл:Object connections.png|мини|Связи между объектами]]
Если <math>n</math> объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков ([[Теория графов|число рёбер]] [[Полный граф|полного графа]]) будет выражаться треугольным числом:
: <math>T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}</math>

Это видно из того, что каждый из <math>n</math> объектов соединяется с остальными <math>n-1</math> объектами, так что получается <math>n(n-1)</math> соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для <math>n</math> человек или количество шахматных партий в турнире с <math>n</math> участниками равны <math>T_{n-1}.</math> Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в [[Выпуклый многоугольник|выпуклом многоугольнике]] с <math>n</math> сторонами (n>3) равно:
: <math>T_{n-2} - 1 = \frac{n(n-3)}{2}</math>

[[Файл:Central polygonal numbers.svg|мини|170px|Разбиения круга секущими]]
Максимальное количество <math>p</math> кусков, которое можно получить с помощью <math>n</math> прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно <math>T_n+1</math> (см. [[Центральные многоугольные числа]], {{OEIS|A000124}}).

[[Файл:Boehme-heart.jpg|мини|left|[[Тетраксис]] в христианской мистике ([[Якоб Бёме]], XVII век)]]
Известное в мистике «[[число зверя]]» (666) является 36-м треугольным<ref name=Sham/>. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы [[Квадрат (алгебра)|квадратов]] треугольных чисел{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=225}}: <math>666=15^2+21^2.</math>

Четвёртое треугольное число 10 ([[тетраксис]]) [[пифагорейцы]] считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения [[Интервал (музыка)|музыкальных интервалов]], смену времён года и движение планет<ref>{{citation| url = https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC| title = Pythagoras: pioneering mathematician and musical theorist of Ancient Greece| author = Dimitra Karamanides| publisher = The Rosen Publishing Group| year = 2005| pages = 65| isbn = 9781404205000| access-date = 2021-04-07| archive-date = 2020-10-14| archive-url = https://web.archive.org/web/20201014195142/https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC| url-status = dead}}</ref>.
{{-}}

== Связь с другими классами чисел ==
Любое [[Многоугольное число|<math>k</math>-угольное число]] <math>P^{(k)}_n \; (k\geqslant 3, n > 1)</math> может быть выражено через треугольные{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=15|name=DD15}}:
: <math>P^{(k)}_n = n + (k-2)\frac{n(n-1)}{2} = (k - 3)T_{n-1} + T_n</math>

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это [[квадратное число]] (полный квадрат), то есть<ref name=Sham>{{cite web|author=Шамшурин А. В.|title=Волшебная сила треугольных чисел|url=https://school-science.ru/4/7/1465 |website=Старт в науке|access-date=2021-04-07|lang=ru}}</ref>:
: <math>T_{n-1}+T_n=n^2\;</math> (формула [[Теон Смирнский|Теона Смирнского]]{{sfn |Деза Е.|2011|с=23}}.
Примеры:
:: {| cellpadding="7"
|6 + 10 = 16
|[[Файл:Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg]]
|
|10 + 15 = 25
|[[Файл:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg]]
|}
Обобщением этой формулы является формула [[Никомах Герасский|Никомаха]] — для любого <math>k \geqslant 3</math> разность между {{s|<math>(k+1)</math>-угольным}} и {{s|<math>k</math>-угольным}} числами с одним и тем же номером есть треугольное число{{sfn |За страницами учебника математики|1996|с=50}}:
: <math>P^{(k+1)}_n - P^{(k)}_n = T_{n-1}</math>
Предыдущая формула получается при <math>k=3.</math>

Существует единственная [[пифагорова тройка]], состоящая из треугольных чисел{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=195}}:
: <math>\{T_{132}, T_{143}, T_{164}\} = \{8778, 10296, 13530\}.</math>

Среди треугольных чисел существуют [[числа-палиндромы]], то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево ({{OEIS|A003098}}):
: <math>1, 3, 6, 55, 66, 171, 595, 666, 3003, 5995, 8778, \dots</math>

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («[[Квадратное треугольное число|квадратные треугольные числа]]»)<ref>{{cite web|title=There exist triangular numbers that are also square|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml|website=cut-the-knot|access-date=2021-04-07|lang=en|archive-date=2006-04-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20060427075825/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml|url-status=live}}</ref>{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=25—33}}: <math>1, 36, 1225, 41616, 1413721 \dots</math> ({{OEIS|A001110}}).

Треугольное число может также быть одновременно
* пятиугольным ({{OEIS|A014979}}):
: 1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;
* шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
* семиугольным ({{OEIS|A046194}}):
: 1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…
и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших <math>10^{22166},</math> не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=34—37|name=DD34}}.

Четыре треугольных числа <math>1, 3, 15, 4095</math> являются одновременно [[Число Мерсенна|числами Мерсенна]] ({{OEIS|A076046}}) (см. [[уравнение Рамануджана — Нагеля]]).

Пять чисел <math>1, 10, 120, 1540, 7140</math> (и только они) одновременно треугольные и [[Тетраэдральное число|тетраэдральные]] ({{OEIS|A027568}}).

Четыре числа <math>1, 55, 91, 208335</math> одновременно треугольные и [[Квадратное пирамидальное число|квадратные пирамидальные]] ({{OEIS|A039596}}).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно<ref name=PENG9/>{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=77—78}}:
* треугольным и кубическим;
* треугольным и [[Биквадратное число|биквадратным]]{{sfn |Dickson|2005|p=8}};
* треугольным и пятой степенью целого числа<ref name=PENG9>{{cite web|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|url=https://books.google.ru/books?id=7L7xcjBPemEC&pg=RA1-PA9&lpg=RA1-PA9&dq=triangular+numbers+15+and+21,+780+and+990,1747515+and+2185095,+whose+sum+and+difference+are+triangular%C2%BB&source=bl&ots=SiFatLScDG&sig=ACfU3U2tiirEwKbQYW3qpBxJLLUsq2HHIQ&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwj7g5L9nKPvAhVqwIsKHVcsAmUQ6AEwA3oECAQQAw#v=onepage&q=triangular%20numbers%2015%20and%2021%2C%20780%20and%20990%2C1747515%20and%202185095%2C%20whose%20sum%20and%20difference%20are%20triangular%C2%BB&f=false|access-date=2021-03-09|lang=en}}</ref>;

Каждое [[Чётные и нечётные числа|чётное]] [[совершенное число]] является треугольным<ref>{{Статья |автор=Voight, John |заглавие=Perfect numbers: an elementary introduction |ссылка=https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/perfelem.pdf |язык= |издание=University of California, Berkley |год=1998 |месяц= |число= |том= |номер= |страницы=7 |issn= |archive-date=2017-02-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170225131513/https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/perfelem.pdf }}</ref>.

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году [[Пьер Ферма]] в письме к [[Мерсенн, Марен|Мерсенну]] без доказательства, впервые доказано в 1796 году [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссом]]{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=10}}.

Квадрат {{math|''n''}}-го треугольного числа является суммой [[куб (алгебра)|кубов]] первых <math>n</math> [[Натуральное число|натуральных чисел]] ([[тождество Никомаха]]){{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=79}}. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает [[Куб (алгебра)|кубическое число]]. Например, <math>15^2 - 10^2 = 125 = 5^3.</math>

== Производящая функция ==
[[Степенной ряд]], коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при <math>|x|<1</math>:
: <math>\frac{x}{(1-x)^3} = T_1 x + T_2 x^2 + T_3 x^3 + \dots + T_n x^n + \dots</math>
Выражение слева является [[Производящая функция последовательности|производящей функцией]] для последовательности треугольных чисел{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=17—19}}.

== Вариации и обобщения ==
Вариацией треугольных чисел являются [[центрированные треугольные числа]].

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат [[тетраэдральные числа]], а в произвольном <math>d</math>-мерном пространстве можно определить ''гипертетраэдральные числа''{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=126—134}}:
: <math>T^{[d]}_n = \frac{(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}</math>
Их частным случаем выступают:
* <math>T^{[2]}_n</math> — треугольные числа.
* <math>T^{[3]}_n</math> — тетраэдральные числа.
* <math>T^{[4]}_n</math> — [[пентатопные числа]].

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются [[числа Стирлинга второго рода]]{{sfn |Деза Е., Деза М.|2016|с=214—215}}:
: <math>T_n=S(n+1,n)</math>

== См. также ==
* {{iw|Последовательность Шинделя||en|Šindel sequence}}
* [[Аддитивная комбинаторика]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. |ref=За страницами учебника математики
|заглавие=За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия |ссылка=https://archive.org/details/isbn_5090065756 |isbn=5-09-006575-6
|место=М. |издательство=Просвещение |год=1996 |страницы=[https://archive.org/details/isbn_5090065756/page/n31 30] |страниц=320}}
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |заглавие=История математики в школе
|ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm
|издательство=Просвещение |место=М. |год=1964 |страниц=376 }}
* {{книга |автор=Деза Е. |заглавие=Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие. |ref=Деза Е.
|место=М. |издательство=Книжный дом «ЛИБРОКОМ» |год=2011 |страниц=240 |isbn=978-5-397-01750-3}}
* {{книга |автор=Деза Е., Деза М. |заглавие=Фигурные числа |ref=Деза Е., Деза М.
|место=М. |издательство=МЦНМО |год=2016 |страниц=349 |isbn=978-5-4439-2400-7 }}
* {{публикация|книга|автор=[[Диксон, Леонард Юджин|Dickson L. E.]] |заглавие=[[History of the Theory of Numbers]]
|часть=[https://www.archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft Polygonal. pyramidal and figurate numbers] |volume=2: Diophantine Analysis
|ссылка=https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22|место=New York
|издательство=Dover |год=2005 |pages=22—23 |ref=Dickson}}

== Ссылки ==
{{Навигация
|Портал = Математика
}}
* {{cite web |title=Фигурные числа |lang=ru |publisher=Издательская группа ОСНОВА
|url=http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_40_7873.pdf |ref=ОСНОВА}}
* {{cite web|author=Villemin, Gérard |title=Nombres Triangulaires |lang=fr
|url=http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbTrianC.htm#proprietee
|website=Nombres — Curiosités, théorie et usages|date=2007 |ref=Villemin}}
* {{h|MathWorld|3={{MathWorld|urlname=TriangularNumber|title=Triangular Number}}}}

{{ВС}}
{{Фигурные числа}}
{{Классы натуральных чисел}}

[[Категория:Фигурные числа]]
[[Категория:Факториалы и биномиальные коэффициенты]]
[[Категория:Треугольники]]

Треугольное число - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}