imported>Alex NB OT: Википедия:Запросы к ботоводам § Санкт — Петербург и т. п.

2025-08-18T19:48:56Z

Википедия:Запросы к ботоводам § Санкт — Петербург и т. п.

Новая страница

[[Файл:Tractriss.svg|right|400px|thumb|Общий вид графика]]

'''Трактри́са''' ('''линия влечения''') — (от {{lang-la|trahere}} — тащить) — плоская [[трансцендентная кривая]], для которой длина отрезка [[касательная|касательной]] от точки [[Касание|касания]] до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
Такую линию описывает (при некоторых допущениях, см. [[Трактриса#Механическая интерпретация|ниже]]) предмет, волочащийся на верёвке длины ''a'' за точкой, движущейся по оси абсцисс<ref>''Бражниченко Н. А., Минцберг Б. Л., Морозов В. И.'' Сборник задач по теоретической механике. Часть II, Управление военно-морских учебных заведений, Л., 1957, 120 с.</ref><ref>''Павленко Ю. Г.'' Задачи по теоретической механике. М., Изд-во МГУ, 1988, 344 с.</ref>.
Трактриса также является [[кривая погони|кривой погони]].

== Механическая интерпретация ==
[[Файл:Tractrixtry.gif|thumb|250px|right|Трактриса — траектория одного конца стержня, который тянут за другой конец]]
Механически трактриса может быть определена как «линия влечения» , то есть линия, по которой вынуждено двигаться по горизонтальной поверхности некое массивное тело под действием силы натяжения нити постоянной длины, другой конец которой движется равномерно вдоль некоторой оси. Однако это верно лишь в предельном случае при приближении значения <math>{{v^2} \over {\mu g a}}</math> к нулю, где <math>v</math> — скорость с которой тянут нить, а <math>\mu</math> — [[Трение|коэффициент трения]]. Таким образом, при достаточно большом трении и достаточно маленькой скорости предмет будет волочиться с хорошей точностью по трактрисе.

Аналогичный результат верен и для вязкого трения (например, для лодки, которую тянет вдоль берега идущий по нему человек); в этом случае требуется близость к нулю значения <math>{ mv \over ba }</math>, где <math>m</math> — [[масса]] движимого тела, а <math>b</math> — коэффициент сопротивления жидкости. Здесь для близости реальной траектории к трактрисе нужна ещё и достаточно малая масса движимого тела.<ref>''Диевский В. А.'' Доклад «О механической интерпретации трактрисы» на Международной научной конференции по механике «Восьмые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, Россия, 30 января — 2 февраля 2018 г. Тезисы докладов, стр. 27.</ref>

== Уравнения ==
* Параметрическое описание:
*: <math>x = \pm\ a \cdot \left(\ln {\operatorname{tg} {\frac{t}{2}}} + \cos t \right),</math>
*: <math>y = a \cdot \sin t, \quad t \in [0, \frac{\pi}{2}].</math>
* Другое параметрическое описание:
*:<math>x = t - \mathop{\rm th}(t)=t-\tfrac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}},</math>
*:<math>y= 1/{\mathop{\rm ch}(t)}=\tfrac2{e^t+e^{-t}}.</math>
* Уравнение в [[Декартовы координаты|декартовых координатах]]:
*: <math>x = \int\limits_y^a\frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt =\pm\ \left(a \ln {{a + \sqrt{a^2-y^2}} \over y}-\sqrt{a^2-y^2}\right)</math>, при <math>y \in (0,a)</math>

[[Файл:Evolute2.gif|thumb|250px|right|[[Эволюта]] трактрисы — [[цепная линия]]]]

== Свойства ==
[[Файл:Involute.gif|thumb|250px|right|[[Эвольвента]] цепной линии]]
* Площадь, ограниченная трактрисой и её [[асимптота|асимптотой]]:
*: <math>S = {{\pi a^2} \over 2}</math>
* Длина дуги, от точки (0 ; a) до произвольной точки трактрисы:
*: <math>s_l = -a \ln \sin t</math>
* Радиус кривизны:
*: <math>R = a \; \operatorname{ctg} \; t</math>
* [[Поверхность вращения]] трактрисы вокруг своей [[асимптота|асимптоты]] (оси ''x''), является [[псевдосфера|псевдосферой]].
* [[Эволюта]] (огибающая нормалей): <math>y(x)=a ~ \operatorname{ch}\frac{x}{a}</math> ([[цепная линия]])
* При <math>a > 0,\ 0 < t < {\pi}</math> трактриса имеет отрезок касательной постоянной длины, равный <math>a</math>.
* При <math>x = 0</math> трактриса имеет особую точку типа [[касп]].

== История ==
Первое исследование трактрисы ([[1670 год]]) принадлежит французскому инженеру, врачу и любителю математики [[Перро, Клод|Клоду Перро]], брату [[Перро, Шарль|знаменитого сказочника]].
Позже, её исследовали [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] ([[1676]]), [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенс]] ([[1692]]) и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] ([[1693]]).
В 1839—1840 годах, [[Миндинг, Фердинанд Готлибович|Миндинг]] доказал, что поверхность вращения трактрисы, так называемая [[псевдосфера]], имеет постоянную отрицательную [[Гауссова кривизна|гауссову кривизну]], позже [[Бельтрами, Эудженио|Бельтрами]] обратил внимание на то, что псевдосфера даёт локальную [[Геометрия Лобачевского#Модели|модель геометрии Лобачевского]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Трактри́са // Справочник по высшей математике / [[Выгодский, Марк Яковлевич|М. Я. Выгодский]]. — М.: ACT: Астрель, 2006. — С. 941—949. — 991, [1] с: ил. — ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»), ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).
* Трактри́са // [[Математический энциклопедический словарь]] / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, А. П. Ершов, [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 585. — 847 с. — 150 000 экз.

== Ссылки ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1977ru.djvu ''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977. С.822.]
* [http://vestnik.spbu.ru/html16/s01/s01v3/21.pdf Вестник СПбГУ, 2016 г., серия 1, выпуск 3, доклад Диевского В. А. «К вопросу о механической интерпретации трактрисы.»]
* [http://srcms.ru/mimnip/04/text/07.pdf ''Бойко В. С.'' Трактриса в науке и технике // Инновационные проекты в машиностроении — 2021. — № 4.]
{{ВС}}
{{Кривые}}

[[Категория:Трансцендентные кривые]]

Трактриса - История изменений

imported>Alex NB OT: Википедия:Запросы к ботоводам § Санкт — Петербург и т. п.