imported>Sldst-bot: Раскрытие ш:Rq до ш:нет источников, topic=math удалён — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:45:45Z

Раскрытие ш:Rq до ш:нет источников, topic=math удалён — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

{{Центр треугольника
| название = Точка Жергонна
| изображение = Intouch Triangle and Gergonne Point.svg
| описание изображения = Треугольник ΔABC, с вписанной окружностью (синяя), [[Центр вписанной окружности|центром вписанной окружности]] I, красный треугольник построенный по точкам касания Ta,Tb и Tc и точка Жергонна (зелёная, Ge)
| барицентрические координаты = <math>\frac{1}{-a+b+c} : \frac{1}{a-b+c} : \frac{1}{a+b-c}</math>
| трилинейные координаты = <math>\frac{bc}{-a+b+c} : \frac{ac}{a-b+c} : \frac{ab}{a+b-c}</math>
| код ЭЦТ = X(7)
| изогонально сопряженная =
| изотомически сопряженная = [[точка Нагеля]]
| дополнительная = {{iw|миттенпункт||en|Mittenpunkt}}
| антидополнительная =
}}
'''Точка [[Жергонн, Жозеф Диас|Жергонна]]''' — [[Точка (геометрия)|точка]] пересечения [[отрезок|отрезков]], соединяющих вершины [[треугольник]]а с точками [[Касание|касания]] противоположных сторон [[Вписанная окружность|вписанной окружности]].

Обычно обозначается <math>Ge</math>, <math>G</math>, <math>J</math> или <math>K</math>.

== Свойства ==
* Точка Жергонна является [[Точка Лемуана|точкой Лемуана]] треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
* Точка Жергонна [[изотомическое сопряжение|изотомически сопряжена]] [[Точка Нагеля|точке Нагеля]].
* Точка Жергонна [[изогональное сопряжение|изогонально сопряжена]] с центром отрицательной ''гомотетии'' ''вписанной'' и ''описанной окружности''.
* Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен
<math>L^2 = r^2 - \frac {3p^2r^2}{(4R+r)^2}</math>
* Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен
<math>L^2 = R^2 - \frac {4p^2r(R+r)}{(4R+r)^2}</math>
* Точка Жергонна лежит внутри открытого [[Ортоцентроидная окружность|ортоцентроидного круга]] с выколотым центром.<ref name=Bradley>{{статья
|автор=Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith
|заглавие=The locations of triangle centers
|издание=Forum Geometricorum
|год=2006
|выпуск=6
|страницы=57-70. |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
}}</ref>
* Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.<ref>{{статья
|автор = Deko Dekov
|заглавие = Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point
|издание = Journal of Computer-generated Euclidean Geometry
|год = 2009
|том = 1
|страницы = 1–14.
|url = http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20101105045604/http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf
|archivedate = 2010-11-05
}}</ref>

== Треугольник Жергонна ==
'''Треугольник Жергонна''' для основного треугольника ''ABC'' определяется тремя точками касания вписанной окружности трёх его сторон.
Эти вершины обозначим ''TA'', ''TB'' и ''TC''.
Точка ''TA'' лежит напротив вершины ''A''.
Этот треугольник Жергонна ''TATBTC'' известен также как '''треугольник касаний''' треугольника ''ABC''.

=== Свойства ===
* Три прямые ''ATA'', ''BTB'' и ''CTC'' пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается ''Ge'' — ''[[Замечательные точки треугольника|X(7)]]''.
* Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения [[Симедиана|симедиан]] '''треугольника Жергонна'''.
* Пусть точки касания [[Вписанная окружность|вписанной в данный треугольник окружности]] соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ''ортотреугольник'' треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
* '''Треугольник Жергонна''' (для треугольника ''ABC'') является [[подерный треугольник|подерным треугольником]] для [[инцентр]]а в треугольнике ''ABC''.

== См. также ==
* [[Замечательные точки треугольника]]
* [[Вневписанная окружность]]
* [[Вписанная и вневписанные в треугольник окружности]]
* [[Описанная окружность]]
* [[Точка Нагеля]]

== История ==
Точка Жергонна была открыта [[Жергонн, Жозеф Диас|Жозефом Диасом Жергонном]] (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале [[XIX век]]а.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{нет источников|дата=2010-01-21}}

[[Категория:Замечательные точки треугольника|Ж]]
[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]

Точка Жергонна - История изменений

imported>Sldst-bot: Раскрытие ш:Rq до ш:нет источников, topic=math удалён — заменено на отслеживание через ш:Статья проекта Математика на СО