imported>NapalmBot: Декодирование ссылок по запросу stjn

2024-03-31T13:00:58Z

Декодирование ссылок по запросу stjn

Новая страница

'''Тополо́гия Зари́сского''', или '''топология Зариского''', — специальная [[топологическое пространство|топология]], отражающая алгебраическую природу [[алгебраическое многообразие|алгебраических многообразий]]. Названа в честь [[Зарисский, Оскар|Оскара Зарисского]] и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]].

== Классическое определение ==

В классической алгебраической геометрии (то есть до т. н. «революции Гротендика», произошедшей в конце 1950-х и в 1960-х годах) топология определялась следующим образом. Так как сам предмет имел два раздела, занимавшихся, соответственно, [[аффинное многообразие|аффинными]] и [[проективное многообразие|проективными]] многообразиями, топология Зарисского определялась несколько по-разному для каждого из типов многообразий. Далее предполагается, что мы работаем над фиксированным [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутым полем]] ''K'', под которым в классической алгебраической геометрии почти всегда подразумевались [[комплексные числа]].

=== Аффинные многообразия ===
Топология Зарисского на [[Аффинное пространство|аффинном пространстве]] <math>\mathbb{A}^n</math> над полем ''K'' — структура [[Топологическое пространство|топологии]], [[замкнутое множество|''замкнутые подмножества'']] которой — это в точности алгебраические множества данного пространства. Алгебраические множества — это множества вида

: <math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid \forall f \in S:\; f(x) = 0\},</math>

где ''S'' — произвольное множество [[многочлен]]ов от ''n'' переменных над [[поле (алгебра)|полем]] ''K''. Легко проверяются следующие тождества:

* <math>V(\varnothing)=\mathbb{A}^n, V(1)=\varnothing;</math>
* <math>V(S)=V((S))</math>, где <math>(S)</math> — [[идеал (алгебра)|идеал]] в [[кольцо многочленов|кольце многочленов]], порождённый элементами <math>S;</math>
* Для любых двух идеалов ''I'' и ''J'',
:: <math>V(I)\cup V(J)=V(IJ)</math>;
:: <math>V(I)\cap V(J)=V(I+J)</math>.
Поскольку кольцо многочленов над полем [[Нётерово кольцо|нётерово]], пересечение бесконечного семейства множеств вида <math>V(I)</math> будет равно пересечению его конечного подсемейства и иметь вид <math>V(I)</math>.
Так как конечные объединения и произвольные пересечения алгебраических множеств, а также <math>\mathbb{A}^n</math> и пустое множество являются алгебраическими,то алгебраические множества действительно являются [[замкнутое множество|замкнутыми]] множествами некоторой топологии (эквивалентно, дополнения к ним, обозначаемые <math>D(S)</math>, являются открытыми множествами топологии).

Если <math>M</math> — аффинное алгебраическое подмножество аффинного пространства <math>\mathbb{A}^n</math>, то топологией Зарисского на нём называется [[индуцированная топология]].

=== Проективные многообразия ===
Элементы [[проективное пространство|проективного пространства]] <math>\mathbb P^n</math> — [[класс эквивалентности|классы эквивалентности]] элементов <math>\mathbb A^{n+1}</math> по [[отношение эквивалентности|отношению]] пропорциональности относительно умножения на скаляр из ''K''. Следовательно, элементы кольца многочленов <math>k[x_0, \dots, x_n]</math> не являются функциями на <math>\mathbb{P}^n</math>, так как одна точка имеет множество эквивалентных представлений, которым соответствуют разные значения многочлена. Однако для [[однородный многочлен|однородных многочленов]] условие равенства нулю в данной точке определено корректно, так как умножение на скаляр «проносится через» применение многочлена. Следовательно, если ''S'' — множество однородных многочленов, имеет смысл определение

: <math>V(S) = \{x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}.</math>

Аналогичным образом проверяется, что это семейство множеств является семейством замкнутых множеств некоторой топологии, нужно только заменить слово «идеал» на «[[градуированная алгебра|однородный идеал]]». Топология на произвольном проективном подмногообразии определяется как индуцированная топология.

=== Свойства ===
Полезное свойство топологии Зарисского — существование довольно простой [[база топологии|базы]] этой топологии. А именно, база топологии — открытые множества вида ''D''(''f''), представляющие собой [[дополнение множества|дополнение]] ко множеству нулей многочлена ''f'' (соответственно, для проективных многообразий — однородного многочлена ''f'').

Любое аффинное или проективное многообразие является [[компактное пространство|компактом]]; также компактом является любое открытое подмножество многообразия. Более того, любое алгебраическое многообразие является [[Нётерово топологическое пространство|нётеровым топологическим пространством]].

С другой стороны, алгебраическое многообразие не является [[хаусдорфово пространство|хаусдорфовым пространством]] (если ''K'' — не [[конечное поле]]). Поскольку любая точка алгебраического многообразия замкнута, оно удовлетворяет [[аксиомы отделимости|аксиоме отделимости ''T''1]].

== Современное определение ==

=== Топология на спектре кольца ===
Современное определение основывается на понятии [[Спектр кольца|спектра кольца]]. Пусть дано некоторое [[коммутативное кольцо]] <math>A</math> с единицей. Спектром кольца <math>\mathrm{Spec}\,A</math> называется множество его всех [[простой идеал|простых идеалов]], а сами эти идеалы — точками спектра. Топология Зарисского вводится следующим образом — замкнутыми множествами спектра считаются множества всех простых идеалов, содержащих некоторое множество <math>E</math> или, что то же самое, порождённый этим множеством идеал <math>I</math>:
: <math>V(I) = \{P \in \mathrm{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}</math>.

Нетрудно проверить все аксиомы. Например, то что объединение двух замкнутых множеств замкнуто следует из цепочки очевидных включений:
: <math>V(a \cap b) \subseteq V(a b) \subseteq V(a) \cup V(b) \subseteq V(a \cap b)</math>, отсюда <math>V(a) \cup V(b) = V(a \cap b)</math>.

С введённой ранее топологией на аффинном пространстве топология Зарисского на спектре связывается следующим образом. Определим отображение <math>\mathbb{A}^n\to \mathrm{Spec}\,K[x_1,\ldots,x_n]</math>, которое сопоставляет точке <math>p</math> [[максимальный идеал]] <math>\mathfrak m_p</math>, состоящий из многочленов, равных нулю в этой точке (он максимален, так как [[факторкольцо]] по нему — поле ''K''). Очевидно, что разным точкам соответствуют разные идеалы. Более того, [[теорема Гильберта о нулях]] утверждает, что все максимальные идеалы [[кольцо многочленов|кольца многочленов]] имеют такой вид, то есть отображение <math>x\mapsto \mathfrak m_x</math> [[биекция|биективно]]. Более того, это отображение является [[гомеоморфизм]]ом <math>\mathbb{A}^n</math> на подмножество <math>\mathrm{Spec}\,K[x_1,\ldots,x_n]</math>, соответствующее максимальным идеалам (множество максимальных идеалов кольца <math>A</math> с индуцированной топологией Зарисского называется ''максимальным спектром'' и обычно обозначается <math>\mathrm{spec}\, A</math>). Достаточно доказать, что данное отображение индуцирует биекцию между замкнутыми подмножествами <math>\mathbb{A}^n</math> и замкнутыми подмножествами <math>\mathrm{spec}\,K[x_1,\ldots,x_n] \bigotimes \mathrm{spec}\,K[x_n, n \in [1, \left\vert \infty \right\vert]]</math>, но это почти очевидно: максимальные идеалы, содержащие идеал <math>(S)</math> — это в точности общие нули всех многочленов из <math>S</math>.

Таким образом, нововведение [[Гротендик, Александр|Гротендика]] заключалось в том, чтобы рассматривать не только максимальные идеалы кольца, но и все простые идеалы. В случае кольца многочленов над алгебраически замкнутым полем это означает, что к пространству <math>\mathbb{A}^n</math> добавляется некоторое число «[[общая точка (алгебраическая геометрия)|общих точек]]» (по одной точке для каждого [[аффинное многообразие|неприводимого аффинного подмногообразия]]). В общем случае (то есть при рассмотрении всевозможных коммутативных колец) это наделяет <math>\mathrm{Spec}</math> [[Функтор (математика)|функториальными]] свойствами: каждому [[гомоморфизм колец|гомоморфизму колец]] <math>A \to B</math> соответствует [[непрерывное отображение]] <math>\mathrm{Spec}\,B \to \mathrm{Spec}\,A</math>. Для простого спектра построение этого гомоморфизма тривиально — берётся прообраз простого идеала, для максимального так не получается, так как прообраз максимального идеала не обязательно максимален.

Аналогично тому, как конструкция спектра заменила традиционную топологию Зарисского на аффинных многообразиях, [[конструкция Proj]] в современной алгебраической геометрии заменяет рассмотрение топологии на проективных многообразиях.

=== Примеры ===
[[Файл:Spec_Z.png|thumb|Спектр кольца целых чисел.|400px|right]]
* Спектр [[поле (алгебра)|поля]] ''k'' — топологическое пространство из одного элемента.
* Спектр <math>\mathbb Z</math> содержит по одной точке для каждого [[простое число|простого числа]], а также одну «общую точку» (точку, замыкание которой совпадает со всем пространством), соответствующую нулевому идеалу. Замкнутые множества в топологии Зарисского на этом спектре — это конечные подмножества множества простых чисел, а также весь спектр.
* Спектр кольца многочленов над алгебраически замкнутым полем ''K'' — это [[аффинное пространство|аффинная прямая]] <math>\mathbb{A}^1</math> над полем ''K''. Действительно, ''K''[''x''] является [[область главных идеалов|областью главных идеалов]], поэтому простые идеалы в нём соответствуют [[неприводимый многочлен|неприводимым многочленам]], а поскольку ''K'' — алгебраически замкнутое поле, все неприводимые многочлены имеют вид <math>x-a</math>; также спектр содержит «общую точку», соответствующую нулевому идеалу. В топологии Зарисского на ''K''[''x''] замкнутые множества — это конечные множества (не содержащие общую точку), а также всё пространство.
* Если ''K'' не является алгебраически замкнутым, ситуация усложняется. Например, спектр <math>\mathbb R[x]</math> содержит точки вида <math>(x-a)</math>, точки <math>(x^2+bx+c)</math>, такие что <math>b^2-4c<0</math>, а также общую точку. Если сопоставить каждому многочлену такого вида его комплексные корень, спектр <math>\mathbb R[x]</math> можно изобразить как верхнюю полуплоскость (комплексные числа с неотрицательной мнимой частью).
* Замкнутое подмножество спектра является спектром другого кольца. Это доказывает конструкция факторкольца — простые идеалы <math>A/I</math> взаимно-однозначно соответствуют простым идеалам в <math>A</math>, содержащим идеал <math>I</math>. Например, спектр кольца <math>\mathbb Z/10\mathbb Z</math> состоит из точек (2) и (5).

=== Свойства топологии Зарисского на спектре ===
Наиболее серьёзное отличие топологии на спектре от топологии Зарисского на многообразии состоит в том, что в новой топологии не все точки замкнуты. Появляются т. н. «общие точки», замыкание которых строго больше их самих (более того, имеется взаимно-однозначное соответствие между неприводимыми компонентами пространства и "общими" точками, замыканиями которых эти компоненты являются). Замкнутыми остаются точки, соответствующие максимальным идеалам кольца. Таким образом, топология на спектре уже не удовлетворяет аксиоме [[Аксиомы отделимости#T1 — аксиома Тихонова|T1]], однако по-прежнему удовлетворяет [[Аксиомы отделимости#T0 — аксиома Колмогорова|аксиоме T0]]. Действительно, из двух простых идеалов <math>\mathfrak p</math> и <math>\mathfrak q</math> хотя бы один не содержит другой, например <math>\mathfrak p\nsubseteq \mathfrak q</math>. Тогда <math>D(\mathfrak p)</math> содержит <math>\mathfrak q</math>, но, конечно, не содержит <math>\mathfrak p</math> (напомним, что <math>D(\mathfrak p)</math> — это открытое множество, состоящее из идеалов, не содержащих идеал <math>\mathfrak p</math>).

Как и в классической алгебраической геометрии, спектр является компактным пространством. Этот факт плохо согласуется с нашей интуицией: мы не ожидаем, что целое аффинное пространство (например, [[евклидово пространство]]) будет компактным. [[Гротендик, Александр|Гротендик]] также ввёл понятие {{не переведено 5|Этальная топология|этальной топологии||en:Étale topology}}, которое гораздо более абстрактно, но свойства этой топологии больше напоминают свойства стандартной топологии на евклидовом пространстве.

== См. также ==
* [[Спектр кольца]]

== Литература ==

* ''[[Атья, Майкл|Атья М.]], [[Макдональд, Иэн (математик)|Макдональд И.]]'' Введение в коммутативную алгебру. — {{М}}: Мир, 1972.
* ''Мамфорд'', Красная книга о многообразиях и схемах — {{М}}: МЦНМО, 2007.
* ''Шафаревич И. Р.'' Основы алгебраической геометрии. — {{М}}: Наука, 1972.
* ''Хартсхорн Р.'' Алгебраическая геометрия. — {{М}}: Мир, 1981.

[[Категория:Коммутативная алгебра]]
[[Категория:Алгебраическая геометрия]]
[[Категория:Топология]]
[[Категория:Топологические пространства]]

Топология Зарисского - История изменений

imported>NapalmBot: Декодирование ссылок по запросу stjn