imported>Monedula: отмена правки 138297720 участника 93.175.0.194 (обс.)

2024-06-10T15:28:40Z

отмена правки 138297720 участника 93.175.0.194 (обс.)

Новая страница

{{Механика сплошных сред}}
'''Тео́рия упру́гости''' — раздел [[механика сплошных сред|механики сплошных сред]], изучающий [[Деформация|деформации]] упругих [[Твёрдое тело|твёрдых тел]], их поведение при статических и динамических нагрузках.

Главная задача теории [[Упругость|упругости]] — выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. Основной системой уравнений для решения этой задачи являются три уравнения равновесия, содержащие шесть неизвестных компонентов симметричного [[тензор напряжений|тензора напряжений]]. Симметричность тензора напряжений постулируется при этом [[гипотеза парности касательных напряжений|гипотезой парности касательных напряжений]]. Для замыкания системы используют так называемые [[уравнения совместности деформаций]] (действительно, для тела, остающегося в процессе деформации сплошным, есть компоненты [[тензор деформации|тензора деформации]], которые не могут быть независимыми — эти компоненты выражаются через три функции — составляющие перемещения точки тела: симметричные [[соотношения Коши]]). Шесть уравнений совместности деформаций и уравнения обобщённого [[закон Гука|закона Гука]] замыкают задачу теории упругости.

Теория упругости является фундаментом инженерного дела и архитектуры. Кроме очевидных статических задач (устойчивость зданий и других сооружений, прочность транспортных средств), теория упругости привлекается и для решения динамических задач (например, устойчивость конструкций при землетрясениях и под действием мощных звуковых волн; [[виброустойчивость]] различных аппаратов и установок). Теория упругости здесь пересекается с [[материаловедение]]м и служит одним из опорных пунктов при поиске новых материалов. Теория упругости важна также и для [[Сейсморазведка|сейсморазведки]].

== Подходы к постановке задачи ==
Различают три варианта постановок задач теории упругости.

1. Постановка задач теории упругости в перемещениях

Основные неизвестные — три компоненты вектора перемещений (в дальнейшем — перемещения).
Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в перемещениях ([[уравнения Ламе]]).
В каждой неособенной точке поверхности тела перемещения должны удовлетворять трём граничным условиям.
Граничные условия могут быть сформулированы в трёх вариантах:

* заданы перемещения;
* заданы комбинации напряжений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений;
* заданы комбинации напряжений и перемещений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений и через сами перемещения.

По известным перемещениям деформации определяются дифференцированием (симметричные соотношения Коши).
Найденные по перемещениям деформации тождественно удовлетворяют шести [[Уравнения совместности деформаций|уравнениям совместности деформаций]]
По известным перемещениям можно найти дифференцированием компоненты [[Тензор поворотов|тензора поворотов]] и [[Псевдовектор поворотов|псевдовектора поворотов]] (антисимметричные соотношения Коши).
По известным деформациям напряжения определяются алгебраически (уравнения [[Закон Гука|закона Гука]]).

2. Постановка задач теории упругости в напряжениях.
Основные неизвестные — шесть компонент симметричного тензора напряжений.
Они должны удовлетворять трём уравнениям равновесия, записанным в напряжениях, и шести [[Уравнения совместности деформаций|уравнениям совместности деформаций]], записанным с помощью уравнений [[Закон Гука|закона Гука]] в напряжениях. Деформации определяются алгебраически по найденным напряжениям из обратных уравнений [[Закон Гука|закона Гука]]. Перемещения интегрируются в квадратурах по найденным деформациям с помощью [[Формулы Чезаро|формул Чезаро]], причем интегрируемость обеспечена, так как удовлетворены [[уравнения совместности деформаций]]. Для упрощения постановки напряжения можно выразить через тензорный потенциал так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнения совместности распадутся на отдельные уравнения для каждой из компонент тензора-потенциала напряжений.
Удерживая те или иные компоненты симметричного тензора-потенциала напряжений, а остальные полагая нулю, можно получить как частные случаи известные постановки [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелла]], [[Моррер]]а, [[Эйри, Джордж Биддель|Эйри]].

3. Постановка задач теории упругости в смешанном виде.

== Основные понятия теории упругости ==
[[Файл:Stress in a continuum.svg|thumb|350 px|Распределение напряжений на площинках элементарного параллелепипеда]]
Основными понятиями теории упругости являются напряжения, действующих на малых площадях, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку P, деформации в малой окрестности точки P и перемещения самой точки P. Точнее говоря, вводятся тензор напряжений <math>\sigma_{ij}\,\!</math>, тензор малых деформаций <math>\varepsilon_{ij}\,\!</math> и вектор перемещения ''ui''.

Краткое обозначение <math>\sigma_{ij}\,\!</math>, где индексы ''i, j'' принимают значения 1, 2, 3 (или ''x, y, z'') следует понимать как матрицу в вида:
: <math>\boldsymbol{\sigma_{ij}}= \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}
= \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\,\!</math>

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора <math>\varepsilon_{ij}\,\!</math>.

Если физическая точка тела P вследствие деформации заняла новое положение в пространстве P', то вектор перемещения обозначается <math>\mathbf {PP'}</math> с компонентами (''ux,uy,uz''), или, сокращенно ''ui''. В теории малых деформаций компоненты ''ui'' и <math>\varepsilon_{ij}\,\!</math> считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора <math>\varepsilon_{ij}\,\!</math>, который также называется [[тензор деформации Коши]] или линейный тензор деформации и вектора ''ui'' связаны зависимостями:

: <math>\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right) =
\left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
\end{matrix}\right]
=
\left[\begin{matrix}
\frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right) \\
\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y}\right) \\
\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right) & \frac{\partial u_z}{\partial z} \\
\end{matrix}\right] \,\!</math>

Из последней записи видно, что <math>\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}\,\!</math>, поэтому тензор деформации является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (то есть скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая его часть, которую мысленно можно из него выделить. Из тела выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы. Из условия равновесия параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz, рассмотрев условия равновесия сил в проекциях, можно получить:
: <math>
\begin{align}
& \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} + F_x = 0 \\
& \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} + F_y = 0 \\
& \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + F_z = 0 \\
\end{align}
</math>

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, которые приводятся к виду:
: <math> \sigma_{xy} = \sigma_{yx}, \sigma_{yz} = \sigma_{zy}, \sigma_{zx} = \sigma_{xz}\,\! </math>

Это равенство означает, что тензор напряжений является симметричным тензором и число неизвестных компонент тензора напряжений сводится к 6. Есть только три уравнения равновесия, то есть уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжение <math>\sigma_{ij}\,\!</math> через деформации <math>\varepsilon_{ij}\,\!</math> с помощью уравнений [[Закон Гука|закона Гука]], а затем деформации <math>\varepsilon_{ij}\,\!</math>выразить через перемещения ''ui'' с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнение равновесия. При этом получается три дифференциальных уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций ''ux uy uz'', то есть число неизвестных, будет соответствовать числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Навье — Коши.

: <math>\left(\lambda+\mu\right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\mu\left(\frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_x}{\partial z^2}\right)+F_x=0\,\!</math>
: <math>\left(\lambda+\mu\right)\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\mu\left(\frac{\partial^2 u_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_y}{\partial z^2}\right)+F_y=0\,\!</math>
: <math>\left(\lambda+\mu\right)\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)+\mu\left(\frac{\partial^2 u_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2}\right)+F_z=0\,\!</math>

где [[параметры Ламе]]:

: <math>\lambda=\frac{E \nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}</math>

: <math>\mu = \frac{E}{2(1+\nu)}</math>.

== Анизотропные однородные среды ==
{{Main|закон Гука}}

Для анизотропных сред тензор жесткости <math> C_{ijkl}\,\!</math> сложнее. Симметрия тензора напряжений <math>\sigma_{ij}\,\!</math> означает, что существует не более 6 различных элементов напряжений. Аналогично, существует не более 6 различных элементов тензора деформации <math>\varepsilon_{ij}\,\!</math> . Следовательно, тензор жесткости четвёртого порядка <math> C_{ijkl}\,\!</math> может быть записан в виде матрицы <math>C_{\alpha \beta}\,\!</math> (тензор второго порядка). Запись [[Фогт, Вольдемар|Фойгта]] является стандартным способом отображения для тензорных индексов,
: <math>
\begin{matrix}
ij & =\\
\Downarrow & \\
\alpha & =
\end{matrix}

\begin{matrix}
11 & 22 & 33 & 23,32 & 13,31 & 12,21 \\
\Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \\
1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6
\end{matrix}\,\!</math>

С помощью этих обозначений можно записать матрицу упругости для любой линейно-упругой среды как:

: <math> C_{ijkl} \Rightarrow C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66}
\end{bmatrix}.
\,\!</math>

Как показано, матрица <math> C_{\alpha \beta}\,\!</math> симметрична. Это результат существования функции плотности энергии деформации, которая удовлетворяет <math>\sigma_{ij}=\frac{\partial W}{\partial\varepsilon_{ij}}</math>. Следовательно, существует не более 21 различных констант <math> C_{\alpha \beta}\,\!</math>.

Изотропный частный случай имеет 2 независимых элемента:
: <math> C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
K+4 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & 0 & 0 & 0 \\
K-2 \mu\ /3 & K+4 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & 0 & 0 & 0 \\
K-2 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & K+4 \mu\ /3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \mu\ & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \mu\ & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu\
\end{bmatrix}.
\,\!</math>

Простейший анизотропный случай кубической симметрии имеет 3 независимых элемента:
: <math> C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44}
\end{bmatrix}.
\,\!</math>

Случай поперечной изотропии, также называемой полярной анизотропией (с одной осью симметрии), имеет 5 независимых элементов:
: <math> C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{11}-2C_{66} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{11}-2C_{66} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66}
\end{bmatrix}.
\,\!</math>

Когда поперечная изотропия слаба (то есть близка к изотропии), альтернативная параметризация, использующая параметры Томсена, оказывается удобной для записи формул скоростей волн.

Случай ортотропии (симметрия кирпича) имеет 9 независимых элементов:
: <math> C_{\alpha \beta} =\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66}
\end{bmatrix}.
\,\!</math>

== См. также ==
* [[Теория пластичности]]
* [[Тензор напряжений]]
* [[Тензор упругости]]
* [[Тензор деформации]]
* [[Закон Гука]]

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Болотин, Владимир Васильевич|Болотин В. В.]] |заглавие=Динамическая устойчивость упругих систем|место=М.|издательство=[[Гостехиздат]]|год=1956|страниц=600|ref=Болотин}}
* {{книга|автор=[[Ильюшин, Алексей Антонович|Ильюшин А. А.]] |заглавие=Механика сплошной среды|место=М.|издательство=Изд-во Моск. ун-та|год=1978|страниц=287|ref=Ильюшин}}
* {{книга|автор=Лихачёв В. А., Малинин В. Г. |заглавие=Структурно-аналитическая теория прочности|место=СПб.|издательство=Наука|год=1993|страниц=471|ref=Лихачёв, Малинин}}
* {{книга|автор=[[Лурье, Анатолий Исакович|Лурье А. И.]] |заглавие=Теория упругости|место=М.|издательство=Наука|год=1970|страниц=940|ref=Лурье}}
* {{книга|автор=[[Пановко, Яков Гилелевич|Пановко Я. Г.]], Губанова И. И. |заглавие=Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы|место=М.|издательство=Наука|год=1979|страниц=384|ref=Пановко, Губанова}}
* {{книга|автор=[[Работнов, Юрий Николаевич|Работнов Ю. Н.]] |заглавие=Механика деформируемого твёрдого тела|место=М.|издательство=Наука|год=1979|страниц=744|ref=Работнов}}
* {{книга|автор=[[Седов, Леонид Иванович|Седов Л. И.]] |заглавие=Механика сплошной среды. Том 1.|место=М.|издательство=Наука|год=1970|страниц=492|ref=Седов, т. 1|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov_MSS_t1_1970ru.djvu}}
* {{книга|автор=[[Седов, Леонид Иванович|Седов Л. И.]] |заглавие=Механика сплошной среды. Том 2.|место=М.|издательство=Наука|год=1970|страниц=568|ref=Седов, т. 2|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov_MSS_t2_1970ru.djvu}}
* {{книга|автор=[[Трусделл, Клиффорд Амброуз|Трусделл К.]] |заглавие=Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред.|место=М.|издательство=Наука|год=1975|страниц=592|ref=Трусделл|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Truesdell1975ru.djvu}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20121018000500/http://distance.net.ua/Russia/Teoruprug/lekciya.htm Курс теории упругости]
{{вс}}
{{Разделы механики}}

[[Категория:Механика сплошных сред]]
[[Категория:Теория упругости]]

Теория упругости - История изменений

imported>Monedula: отмена правки 138297720 участника 93.175.0.194 (обс.)