imported>Vladimir Ivanov: /* В квантовой теории поля */ уточнение

2025-03-08T14:39:54Z

В квантовой теории поля: уточнение

Новая страница

'''Теория возмущений''' — метод [[Приближённые вычисления|приближённого решения]] задач [[Прикладная математика|прикладной математики]] и [[Теоретическая физика|теоретической физики]], применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый [[параметр]], причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда

: <math>A = A^{(0)} + \varepsilon A^{(1)} + \varepsilon^2 A^{(2)} + ...</math>

где <math>A^{(0)}</math> — решение невозмущённой задачи, <math>\varepsilon</math> — малый параметр.
Коэффициенты <math>A^{(n)}</math> находятся путём последовательных приближений, то есть <math>A^{(n)}</math> выражается через <math>A^{(0)}, ... , A^{(n-1)}</math>.
Применяется в [[небесная механика|небесной механике]], [[квантовая механика|квантовой механике]], [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]] и т. д.

Метод теории возмущений основан на [[Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров|теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров]].<ref name="Arn2018">''[[Арнольд, Владимир Игоревич|В.И. Арнольд]]'' Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: [[МЦНМО]], 2018. — ISBN 978-5-4439-1254-7 — c. 102-103</ref>

== В небесной механике ==

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть [[Гравитационная задача N тел|задача <math>N</math> тел]], которая, в отличие от [[задача двух тел|задачи двух тел]], не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет друг к другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к <math>N-1</math> независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно [[законы Кеплера|законам Кеплера]]. Это есть решение ''невозмущённой задачи'', или ''нулевое приближение''. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или ''[[Возмущение (астрономия)|возмущению]]'' этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учётом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу [[Степени свободы (механика)|степеней свободы]]): [[большая полуось]] и [[эксцентриситет]] орбиты, [[наклонение орбиты]] её к плоскости эклиптики, [[долгота восходящего узла]], [[аргумент перицентра]] и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты <math>a_i</math>) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

: <math>a_i(t) = a_i^{(0)} = {\rm const},</math>

поэтому [[уравнения движения]] планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

: <math>\frac{d a_i}{dt} = \varepsilon f_i(a_1, a_2, ... a_6, t) \qquad\qquad (*)</math>

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения,
и найдём:

: <math>a_i(t) = a_i^{(0)} + \varepsilon a_i^{(1)}(t) = a_i^{(0)} + \varepsilon \int_0^t f_i(a_i^{(0)}, \tau) d\tau.</math>

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

== В квантовой механике ==

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда [[гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониан]] системы можно представить в виде

: <math>H = H^{(0)} + V</math>

где <math>H^{(0)}</math> — ''невозмущённый'' гамильтониан (причём решение соответствующего [[уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]] известно точно), а <math>V</math> — малая добавка (''возмущение'').

=== Стационарная теория возмущений ===
{{main|Стационарная теория возмущений в квантовой механике}}

Задача состоит в нахождении [[Собственная функция|собственных функций]] гамильтониана (''[[Стационарное состояние (квантовая физика)|стационарных состояний]]'') и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

: <math>H | \psi_n \rangle = E_n | \psi_n \rangle \qquad\qquad(**)</math>

в виде разложения в ряд

: <math>\psi_n = \psi_n^{(0)} + \psi_n^{(1)} + \psi_n^{(2)} + ...</math>
: <math>E_n = E_n^{(0)} + E_n^{(1)} + E_n^{(2)} + ...\qquad\qquad(***)</math>

где <math>\psi_n^{(0)}</math> и <math>E_n^{(0)}</math> — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

: <math>H^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle = E_n^{(0)} | \psi_n^{(0)} \rangle,</math>

а число <math>n</math> нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

: <math>(V - E_n^{(1)}) | \psi_n^{(0)} \rangle = (E_n^{(0)} - H^{(0)}) | \psi_n^{(1)} \rangle</math>

Домножая слева на <math>\psi_m^{(0)}</math>, и учитывая, что <math>\psi_m^{(0)}</math> — ([[Ортонормированная система|ортонормированные]]) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

: <math>E_n^{(1)} = V_{nn}</math>
: <math>\psi_n^{(1)} = \sum_{m\neq n} \frac{V_{mn}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \psi_m^{(0)},</math>

где <math>V_{mn} \equiv \langle \psi_m^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle</math> — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень <math>E_n^{(0)}</math> [[Вырождение (квантовая механика)|невырожден]]. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать [[секулярное уравнение]].

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

=== Нестационарная теория возмущений ===
{{В планах|дата=2016-02-29}}

== В квантовой теории поля ==

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]] (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущённым решением являются [[свободные поля]], а малым параметром — [[константа взаимодействия]] (в электродинамике — [[постоянная тонкой структуры]] <math>\alpha \approx 1/137</math>). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются [[диаграммы Фейнмана]].

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, [[аномальный магнитный момент]] электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по <math>\alpha</math><ref>''E. de Rafael.'' Update of the Electron and Muon g-Factors // [http://www.arxiv.org/abs/1210.4705 {{Wayback|url=http://www.arxiv.org/abs/1210.4705 |date=20220120021627 }} arXiv:1210.4705 <nowiki>[hep-ph]</nowiki>]</ref>.

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь [[асимптотический ряд|асимптотическим]]. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться<ref>{{книга
|автор = Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б.
|заглавие = Квантовая электродинамика
|издательство = Наука
|место = М.
|год = 1981
|страницы = 210—212
}}</ref>.

== Примеры неприменимости теории возмущений ==

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться ''инстантонные эффекты'' в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. [[Инстантон]]ные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:
: <math>T_{inst} = A \exp (-1/g)</math>, где <math>g</math> — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке <math>g = 0 </math>, а потому не может быть разложена в [[ряд Маклорена]] по <math>g</math>.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==

* {{книга
| заглавие = Физическая энциклопедия
| ответственный = А.М. Прохоров (гл. ред.)
| место = М.
| издательство = Большая Российская энциклопедия
| год = 1988—99
}}
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|1989}}
* ''Мессиа А.'' Квантовая механика: Пер. с фр. — Т.2, 1979. — 584 с.
* {{статья
| автор = J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura.
| заглавие = Multi-Instantons and Exact Results I: Conjectures, WKB Expansions, and Instanton Interactions
| издание = Ann. Phys
| год = 2004
| volume = 313
| pages = 197—267
| ссылка = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501136
}}
* {{статья
| автор = J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura.
| заглавие = Multi-Instantons and Exact Results II: Specific Cases, Higher-Order Effects, and Numerical Calculations
| издание = Ann. Phys
| год = 2004
| volume = 313
| pages = 269—325
| ссылка = http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501137
}}
* ''Джакалья Г. Е. О.'' Методы теории возмущений для нелинейных систем. - М., Наука, 1979. - 320 с.

[[Категория:Теоретическая физика]]

Теория возмущений - История изменений

imported>Vladimir Ivanov: /* В квантовой теории поля */ уточнение