imported>Yellow Horror: внутренние ссылки

2025-11-16T11:24:04Z

внутренние ссылки

Новая страница

{{Проблемы тысячелетия}}
'''Тео́рия Я́нга — Ми́ллса''' — [[калибровочная теория]] с [[Абелева группа|неабелевой]] калибровочной [[группа (математика)|группой]]. Калибровочные поля в этой теории называются '''''полями Янга — Миллса'''''. Такие теории были предложены в 1954 году [[Янг Чжэньнин|Чжэньнином Янгом]] и [[Миллс, Роберт (физик)|Робертом Миллсом]]<ref>{{статья |заглавие=Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance |издание=[[Physical Review]] |том=96 |номер=1 |страницы=191—195 |doi=10.1103/PhysRev.96.191 |язык=en |тип=journal |автор=[[Янг Чжэньнин|C. N. Yang]], [[Миллс, Роберт (физик)|R. Mills]] |год=1954|url=https://journals.aps.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.96.191|archive-url=https://web.archive.org/web/20231108071749/https://journals.aps.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.96.191|archive-date=2023-11-08|url-status=live}}</ref>, и первое время рассматривались лишь как математические поиски, не имеющие отношения к реальности<ref name="DeWitt">См. Предисловие в книге ''Девитт Б. С.'' Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. / Под ред. Г. А. Вилковыского. — {{М}}: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987. — 288 с.<br>
репринтное переиздание: Череповец: Меркурий-пресс, 2000. ISBN 5-11-480064-7.</ref>. Однако в 1960—1970-х годах на основе теорий Янга — Миллса были созданы две краеугольные теории [[Стандартная модель|стандартной модели]] в [[Физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]]: [[квантовая хромодинамика]] (теория [[сильное взаимодействие|сильных взаимодействий]]) на основе группы [[Специальная унитарная группа|SU(3)]] и теория [[электрослабое взаимодействие|электрослабых взаимодействий]] на основе групп [[Специальная унитарная группа|SU(2)]]×[[Унитарная группа|U(1)]].

== Характерные свойства ==
Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным [[уравнения Максвелла|уравнениям Максвелла]], отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется [[принцип суперпозиции]].

[[Квант]]ы полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть [[бозон]]ами со [[спин]]ом 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма [[Спонтанное нарушение симметрии|спонтанного нарушения симметрии]] физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда [[Теория возмущений|теории возмущений]], однако как решить эти уравнения в режиме [[сильное взаимодействие|сильной связи]], пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире [[конфайнмент]]у в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «[[Проблемы тысячелетия|Проблем тысячелетия]]», за решение любой из которых [[Математический институт Клэя]]<ref>{{cite web|url=https://www.claymath.org/millennium-problems/|title=The Millennium Prize Problems - Clay Mathematics Institute|lang=en|access-date=2024-05-04|archive-date=2024-04-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20240420193013/https://www.claymath.org/MILLENNIUM-PROBLEMS/|url-status=live}}</ref> присудит премию в 1 миллион долларов США.

== Математика ==
Теории Янга — Миллса — частный пример [[калибровочная теория|калибровочной теории поля]] с [[Неабелева группа|неабелевой]] группой калибровочной симметрии. [[Лагранжиан]] свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

: <math>\ \mathcal{L}_\mathrm{gf} = -\frac{1}{4}\operatorname{Tr} \left(F^2 \right)=- \frac{1}{4}F^{\mu \nu a} F_{\mu \nu}^a, </math>

где <math>F</math> — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал <math>A^a_\mu</math> калибровочной группы:

: <math>\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c, </math>

где под <math>\partial_\mu</math> понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие [[Алгебра Ли|алгебры Ли]] калибровочной группы <math>T^a</math> удовлетворяют соотношению
: <math>\ [T^a,T^b]=if^{abc}T^c </math>,
где <math>f^{abc} </math> называются [[структурные константы|структурными константами группы]].

[[Ковариантная производная|Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные]] полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:

: <math>\ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu </math>,

где <math>I</math> — единичный оператор, а <math>g</math> — это [[константа взаимодействия]]. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия <math>g</math> — это безразмерная величина. Для групп <math>SU(N)</math> <math>a,b,c=1\ldots N^2-1</math>.

Вышеприведённое определение <math>F_{\mu \nu}^a </math> может быть получено исходя из коммутатора:

: <math>\ [D_\mu, D_\nu] = -igT^aF_{\mu\nu}^a</math>.

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:

: <math>\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=0</math>

называются полулинейными. В случае малой константы связи <math>g<1</math> в данной теории применима [[теория возмущений]].

Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, <math>f^{abc}=f_{abc}</math>, в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые [[Жонглирование индексами|жонглируются]] [[метрический тензор|метрикой пространства-времени]], в простейшем случае — обычной метрикой Минковского <math>\eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---)</math>.

С введением <math>F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}</math> уравнения движения можно переписать так:
: <math>(D^\mu F_{\mu\nu})^a=0.</math>

Так как <math>F</math> — 2-форма, то выполняется [[Алгебраическое тождество Бьянки|тождество Бьянки]]:
: <math>\ (D_\mu F_{\nu \kappa})^a+(D_\kappa F_{\mu \nu})^a+(D_\nu F_{\kappa \mu})^a=0</math>.
Источник <math>J_\mu^a</math> входит в уравнения движения как:
: <math>\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=-J_\nu^a</math>.

(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)

В <math>D</math> измерениях пространства-времени поле масштабируется как <math>[A]=\left[L^\frac{2-D}{2} \right]</math> и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность <math>\left[g^2 \right]=\Big[L^{D-4}\Big]</math>. Это означает, что теории Янга — Миллса не [[Перенормировка|перенормируемы]] для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также [[Антропный принцип#Размерность пространства|Антропный принцип]]). Кроме того, для <math>D=4</math> константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия [[теория скалярного поля|теории скалярного безмассового поля]] с самодействием <math>\phi^4</math>. Таким образом, эти теории имеют одинаковую [[масштабная инвариантность|масштабную инвариантность]] на классическом уровне.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* ''[[Янг Чжэньнин|Янг, Ч.]], [[Миллс, Роберт (физик)|Миллс Р.]]'' Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. [[Иваненко, Дмитрий Дмитриевич|Д. Иваненко]]. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
* ''[[Славнов, Андрей Алексеевич|Славнов, А. А.]], [[Фаддеев, Людвиг Дмитриевич|Фаддеев Л. Д.]]'' Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.

== Ссылки ==
* [http://lenta.ru/news/2015/12/10/gap/ Физическую «проблему тысячелетия» посчитали неразрешимой]

{{внешние ссылки}}
[[Категория:Физика элементарных частиц]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]
[[Категория:Открытые математические проблемы]]
[[Категория:Нерешённые проблемы современной физики]]
[[Категория:Физические гипотезы]]
[[Категория:Гипотезы физики элементарных частиц]]
[[Категория:Именные законы и правила|Янга — Миллса]]

Теория Янга — Миллса - История изменений

imported>Yellow Horror: внутренние ссылки