imported>Radmir Far: отмена правки 121366834 участника Faynas (обс.)

2022-05-04T18:31:30Z

отмена правки 121366834 участника Faynas (обс.)

Новая страница

{{seealso|Дифференциальная теория Галуа}}
'''Тео́рия Галуа́''' — раздел [[алгебра|алгебры]], позволяющий переформулировать определённые вопросы [[теория полей|теории полей]] на языке [[теория групп|теории групп]], делая их в некотором смысле более простыми.

[[Галуа, Эварист|Эварист Галуа]] сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок [[корень уравнения|корней]] заданного [[многочлен]]а (с [[рациональное число|рациональными]] коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «[[группа (математика)|группа]]» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении [[автоморфизм]]ов [[расширение поля|расширения]] произвольного поля при помощи [[группа Галуа|группы Галуа]], соответствующей данному расширению.

== Приложения ==
Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как
# Какие фигуры можно [[построение с помощью циркуля и линейки|построить циркулем и линейкой]]?
# Какие [[алгебраическое уравнение|алгебраические уравнения]] разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций ([[сложение]], [[вычитание]], [[умножение]], [[деление (математика)|деление]] и [[извлечение корня]])?

== Симметрии корней ==
Симметрии корней — такие [[перестановка|перестановки]] на множестве корней многочлена, для которых любому [[алгебраическое уравнение|алгебраическому уравнению]] с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

=== Пример: квадратное уравнение ===
У многочлена второй степени <math>ax^2 + bx + c</math> имеются два корня <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, симметричных относительно точки <math>x = -b/(2a)</math>. Возможны два варианта:
* Если эти корни рациональны, то уравнению <math>x - x_1 = 0</math> удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
* Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент <math>x_1 \Leftrightarrow x_2</math> и [[Изоморфизм (математика)|изоморфна]] <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>.

=== Более сложный пример ===
Рассмотрим теперь многочлен <math>(x^2 - 5)^2 - 24</math>.

Его корни: <math>a = \sqrt{2} + \sqrt{3},\ b = \sqrt{2} - \sqrt{3},\ c = -\sqrt{2} + \sqrt{3},\ d = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.

Существует <math>4! = 24</math> различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — <math>a + d = 0</math>. Поскольку <math>a + c \ne 0</math>, перестановка <math>a \to a,\ b \to b,\ c \to d,\ d \to c</math> не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что <math>(a + b)^2 = 8</math>, но <math>(a + c)^2 = 12</math>. Поэтому перестановка <math>a \to a,\ b \to c,\ c \to b,\ d \to d</math> не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:
: <math>(a, b, c, d) \to (a, b, c, d),</math>
: <math>(a, b, c, d) \to (c, d, a, b),</math>
: <math>(a, b, c, d) \to (b, a, d, c),</math>
: <math>(a, b, c, d) \to (d, c, b, a)</math>
и является [[четверная группа Клейна|четверной группой Клейна]], изоморфной <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})</math>.

== Формулировка в терминах теории полей ==
[[Поле (алгебра)|Теория полей]] даёт более общее определение [[группа Галуа|группы Галуа]] как группы автоморфизмов произвольного [[расширение Галуа|расширения Галуа]].

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю ''K''. Рассмотрим [[алгебраическое расширение]] ''L'' поля ''K'' корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа [[автоморфизм]]ов поля ''L'', оставляющих элементы поля ''K'' на месте, то есть группа Галуа расширения <math>L\supset K</math>. Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения <math>\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)\supset \mathbb Q</math>.

== [[Разрешимая группа|Разрешимые группы]] и [[Разрешимость в радикалах|решение уравнений в радикалах]] ==
Решения [[Полиномиальное уравнение|полиномиального уравнения]] <math>P(x)=0</math> выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде [[разрешимая группа|разрешима]].

Для любого <math>n</math> существует уравнение <math>n</math>-й степени, группа Галуа которого [[Изоморфизм (математика)|изоморфна]] [[симметрическая группа|симметрической группе]] <math>S_n</math>, то есть состоит из всех возможных [[перестановка|перестановок]]. Поскольку группы <math>S_n</math> при <math>n > 4</math> не являются разрешимыми, существуют [[многочлен]]ы степени <math>n</math>, корни которых [[Разрешимость в радикалах|не представимы при помощи радикалов]], что является утверждением [[Теорема Абеля — Руффини|теоремы Абеля — Руффини]].

== Вариации и обобщения ==
* Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан [[Гротендик|Александром Гротендиком]] в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой [[категория (теория категорий)|категории]], обладающей заданными свойствами (например, существованием [[копроизведение|копроизведений]] и [[декартов квадрат|декартовых квадратов]]).
** В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию [[накрытие|накрытий]]. Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств {{не переведено 5|Тензорное произведение полей|тензорных произведений полей||Tensor product of fields}}.

== Литература ==
* ''[[Колмогоров А. Н.]], Юшкевич А. П. (ред.)'' Математика XIX века. — М.: Наука.
:* Том 1 [http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/a5d285a3a1b9867d419ac34eeab8834c.djvu Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.]{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2017 |bot=InternetArchiveBot }}
* ''Постников М. М.'' [http://mexalib.com/download/14900 Теория Галуа.] {{Wayback|url=http://mexalib.com/download/14900 |date=20140402222904 }} — М.: [[Физматгиз]], 1963.
* ''Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle'' (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: [[Société mathématique de France]], [http://arxiv.org/abs/math/0206203 arXiv: math/0206203] — ISBN 978-2-85629-141-2
* ''Скопенков А. Б.'' [http://arxiv.org/abs/0804.4357 Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.]
* ''Lerner L.'' [http://arxiv.org/abs/1108.4593 Galois Theory without abstract algebra.]
* ''[[Эмиль Артин]].'' Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.

== Ссылки ==
* [[Борчердс, Ричард|Р. Борчердс]], {{YouTube Playlist|PL8yHsr3EFj53Zxu3iRGMYL_89GDMvdkgt|Galois theory}}
{{вс}}

[[Категория:Теория Галуа]]

Теория Галуа - История изменений

imported>Radmir Far: отмена правки 121366834 участника Faynas (обс.)