imported>Sapphaline: /* Вариации и обобщения */

2025-11-28T19:59:20Z

Вариации и обобщения

Новая страница

{{О|теореме планиметрии|теореме для [[Сферический треугольник|сферических треугольников]]|Теорема синусов (сферическая геометрия)}}
[[Файл:Triangle with notations 2.svg|thumb|250px|right|Стандартные обозначения]]

'''Теоре́ма си́нусов''' — [[теорема]], устанавливающая зависимость между длинами сторон [[треугольник]]а и величиной противолежащих им [[угол|углов]].
Существуют два варианта теоремы; '''обычная теорема синусов''':
{{рамка}}
Стороны треугольника пропорциональны [[синус (функция)|синусам]] противолежащих углов.
{{bi|1=<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>}}
{{конец рамки}}
и '''расширенная теорема синусов''':
{{рамка}}
Для произвольного [[треугольник]]а
{{bi|1=<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,</math>}}
где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — стороны треугольника, <math>\alpha, \beta, \gamma</math> — соответственно противолежащие им углы, а <math>R</math> — радиус [[описанная окружность|окружности, описанной около]] треугольника.
{{конец рамки}}

== Доказательства ==

=== Доказательство обычной теоремы синусов ===
Воспользуемся только определением высоты <math> h_b </math> треугольника, опущенной на сторону {{math|''b''}}, и синуса для двух углов:
{{bi|1=<math> h_b=a \sin \gamma= c \sin \alpha </math>.}}
Следовательно, <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант ''обычной'' теоремы синусов. [[Символ конца доказательства|<span style="color:#000;">∎</span>]]

=== Доказательство расширенной теоремы синусов ===
Достаточно доказать, что
{{bi|1=<math>\frac{a}{\sin\alpha} = 2R.</math>}}
Проведем [[диаметр]] <math>|BG|</math> для описанной окружности.
По свойству углов, вписанных в окружность, угол <math>GCB</math> прямой, а угол <math>CGB</math> равен либо <math>\alpha</math>, если точки <math>A</math> и <math>G</math> лежат по одну сторону от прямой <math>BC</math>, либо <math>\pi-\alpha</math> в противном случае.
Поскольку <math>\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha</math>, в обоих случаях получаем
{{bi|1=<math>a=2R\sin\alpha</math>.}}
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
{{bi|1=<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.</math>}}
{{чтд}}

== Вариации и обобщения ==
В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В [[симплекс]]е
{{bi|1=<<math>V_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{{V_{n-1}^i}{V_{n-1}^j}}{V_{n-2}^{i,j}}\cdot \sin {A_{i,j}},</math>}}
где <math> A_{i,j} </math> — угол между гранями <math> V_{n-1}^i </math> и <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_{n-2}^{i,j}</math> — общая грань <math> V_{n-1}^i </math> и <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_n</math> — объём симплекса.

== История ==
* В первой главе [[Альмагест]]а (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется<ref>{{книга|автор=Florian Cajori|часть=|заглавие=A History of Mathematics|оригинал= |ссылка=|издание=5th edition|ответственный=|место=|издательство=|год=1991|том=|страницы=47|страниц=|isbn=|язык=en}}</ref>.
* Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге [[Ат-Туси, Насир ад-Дин|Насир ад-Дин Ат-Туси]] «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке<ref>{{книга |заглавие=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook |ссылка=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/518 |часть=Mathematics in Medieval Islam |издательство=[[Princeton University Press]] |год=2007 |isbn=9780691114859 |страницы=518 |ref=Berggren |язык=en |автор=Berggren, J. Lennart}}</ref>.
* [[Теорема синусов (сферическая геометрия)|Теорема синусов для сферического треугольника]] была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке<ref name=Sesiano>Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1402002602}}</ref>. В труде [[Ал-Джайяни]] XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html |title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani |access-date=2011-08-24 |archive-date=2016-05-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160529134432/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Jayyani.html |url-status=live }}</ref>.

==Вариации и обобщения==
* [[Сферическая теорема синусов]]
* На плоскости Лобачевского с кривизной <math>-1</math> теорема синусов принимает следующую форму: {{bi|1=<math>\frac{\sin A}{\mathrm{sh}\,a} = \frac{\sin B}{\mathrm{sh}\,b} = \frac{\sin C}{\mathrm{sh}\,c}.</math>}}
* [[Теорема косинусов]]
* [[Теорема котангенсов]]
* [[Теорема о проекциях]]
* [[Теорема Пифагора]]
* [[Теорема тангенсов]]
* [[Тригонометрические тождества]]
* [[Тригонометрические функции]]
* [[Формулы Мольвейде]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Внешние ссылки}}
{{Треугольник}}
{{Тригонометрия}}

[[Категория:Тригонометрия]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Синусов]]

Теорема синусов - История изменений

imported>Sapphaline: /* Вариации и обобщения */