imported>Tosha: отк

2022-02-25T22:50:58Z

отк

Новая страница

[[Файл:babochka.png|right|200px]]
'''Теорема о бабочке''' — классическая теорема [[планиметрия|планиметрии]].

==История==
Опубликована в 1803 году [[Уоллес, Уильям (математик)|Уильямом Уоллесом]] в английском журнале {{Не переведено|The Gentlemen's Mathematical Companion|«The Gentlemen's Mathematical Companion»|en|The Gentlemen's Mathematical Companion}}.
Позднее еще не раз переоткрывалась.

==Формулировка==

Пусть через точку ''М'', являющуюся серединой [[Хорда (геометрия)|хорды]] ''PQ'' некоторой [[окружность|окружности]], проведены две произвольные хорды ''АВ'' и ''CD'' той же окружности. Пусть хорды ''AD'' и ''ВС'' пересекают хорду ''PQ'' в точках ''X'' и ''Y''. Тогда ''М'' является серединой отрезка ''XY''.

=== Замечания ===
Верна и ''обратная теорема о бабочке'':
*Пусть через точку ''М'' внутри некоторой [[окружность|окружности]] проведены две произвольные хорды ''АВ'' и ''CD''. Пусть хорды ''AD'' и ''ВС'' пересекают произвольную хорду ''PQ'' в точках ''X'' и ''Y''. Тогда если ''М'' является серединой отрезка ''XY'', то она одновременно является серединой [[Хорда (геометрия)|хорды]] ''PQ''.

== О доказательствах ==
[[Файл:Butterfly1.svg|right|200px|thumb|Доказательство]]

Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы.
*В частности, в [[проективная модель|проективной модели]] [[плоскость Лобачевского|плоскости Лобачевского]], треугольник <math>\triangle AMD</math> центрально симметричен <math>\triangle BMC</math> и отсюда легко следует теорема.

* '''При помощи проецирования двойных отношений:''' Рассмотрим [[двойное отношение]] точек <math>(P,M,X,Q)</math>, и спроецируем его на окружность из точки <math>A</math>. Точки <math>P</math> и <math>Q</math> перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки <math>M</math> и <math>X</math> перейдут в точки <math>B</math> и <math>D</math> соответственно. Получаем <math>(P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)</math> (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую <math>PQ</math> с центром в точке <math>C</math>, получаем <math>(P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)</math>. Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.
* Используется также метод [[Инверсия (геометрия)|инверсии]]<ref>{{книга
|автор=Жижилкин И. Д.
|название=[http://www.math.ru/lib/book/pdf/mp-seria/035_zhizhilkin.pdf ''Инверсия''].
|место=М.
|издательство=МЦНМО
|год=2009
|ref=Жижилкин
}} </ref>

== Вариации и обобщения ==
[[Файл:Sharygin-butterfly.svg|thumb|Обобщение [[Шарыгин, Игорь Фёдорович|Шарыгина]].]]
* Обобщение [[Шарыгин, Игорь Фёдорович|Шарыгина]]<ref>Протасов В. Ю., Тихомиров В. М. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр. 146.</ref>: Пусть на окружности дана хорда ''AB'', на ней — точки ''M'' и ''N'', причём ''AM = BN''. Через точки ''M'' и ''N'' проведены хорды ''PQ'' и ''RS'', соответственно. Прямые ''QS'' и ''RP'' пересекают хорду ''AB'' в точках ''K'' и ''L'', тогда ''AK = BL''.

== Ссылки ==
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
* {{книга |автор=Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М.|заглавие=Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) |место=М.|издательство=Гостехиздат |год=1952}}
* {{книга |автор=Жижилкин И. Д. |название=[http://www.math.ru/lib/book/pdf/mp-seria/035_zhizhilkin.pdf ''Инверсия'']. |место=М.|издательство=МЦНМО|год=2009|ref=Жижилкин | страницы = 36}}

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Теоремы планиметрии]]

Теорема о бабочке - История изменений

imported>Tosha: отк