imported>Alex NB OT: Википедия:Запросы к ботоводам § удалить из статей все элементы без атрибута title

2025-08-19T23:09:02Z

Википедия:Запросы к ботоводам § удалить из статей все элементы <abbr> без атрибута title

Новая страница

[[Файл:Teorema chevy.svg|thumb|200px|Треугольник с чевианами]]
'''Теоре́ма Че́вы''' — классическая [[теорема]] [[Аффинная геометрия|аффинной геометрии]] и [[геометрия треугольника|геометрии треугольника]].
Доказана в 1678 году итальянским инженером [[Чева, Джованни|Джованни Чевой]].

== Формулировка ==
Определим [[чевиана|чевиану]] как отрезок, соединяющий вершину треугольника с внутренней точкой противоположной стороны.

Три чевианы <math>AA',~BB',~CC'</math> треугольника <math>ABC</math> проходят через одну точку тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

: <math>\frac{BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}=1</math>.

=== Замечания ===
Эта теорема является [[аффинная геометрия|аффинной]], то есть она может быть доказана с использованием только свойств, сохраняемых при [[аффинное преобразование|аффинных преобразованиях]].

== Вариации и обобщения ==
[[Файл:Теорема Чева для точек, лежащих на продолжениях сторон.svg|thumb|250px|Теорема Чевы для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.]]
* Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки <math>A',~B',~C'</math> лежат на продолжениях сторон <math>BC,~CA,~AB</math>. Для этого надо воспользоваться «[[отношение направленных отрезков|отношением направленных отрезков]]». Оно определено для двух [[Коллинеарность|коллинеарных]] направленных отрезков <math>XY</math> и <math>ZT</math> и обозначается <math>{XY}/{ZT}</math>.
** Пусть <math>A',~B',~C'</math> лежат на прямых <math> BC,~CA,~AB</math> треугольника <math>ABC</math>. Прямые <math>AA',~BB',~CC'</math> [[конкурентные прямые|конкурентны]] (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:

: <math>\frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}\cdot \frac{AC'}{C'B}=1</math>.

* '''Теорема Понселе'''. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда её называют [[Поризм Понселе|теоремой Понселе]]. Она звучит так: ''прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков'' (см. п. 23, с 35. в<ref>''Зетель С. И.'' Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. 153 с.</ref>)
* '''Тригонометрическая теорема Чевы:'''
*: <math>\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC}\cdot\frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}\cdot\frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA}=1.</math>
: При этом углы здесь считаются [[Ориентация#Ориентированный_угол|ориентированными]], то есть <math>\angle XYZ</math> есть угол, на который надо повернуть прямую <math>XY</math> против часовой стрелки, чтобы она совпала с прямой <math>YZ</math>.

== О доказательствах ==
Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но известны также и другие доказательства:
* [[метод площадей|методом площадей]];
* с помощью геометрии масс;
* двойное применение [[теорема Менелая|теоремы Менелая]] и многие другие.

== См. также ==
* [[Двойное отношение]]
* [[Отношение направленных отрезков]]
* [[Пропорциональные отрезки]]
* [[Теорема Ван-Обеля о треугольнике]]
* [[Теорема Менелая]]
* [[Чевиана]]

== Литература ==
* ''[[Балк, Марк Беневич|Балк М. Б.]], [[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]]'' Геометрия масс. — {{М.}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1987. —([[Библиотечка «Квант»]])).
* {{Книга|автор=Коксетер, Грейтцер|заглавие=Новые встречи с геометрией}}
* ''Мякишев А. Г.'' Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „[[Математическое просвещение]]“». М.: [[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]], 2002.
* ''Филипповский Г. Б.'' Теоремы Чевы, Менелая и Ван-Обеля// Математика. Все для учителя! № 9 (21). сентябрь. 2012. с. 7-19// https://yagubov.su/MATH2/06K/06615Z.pdf
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|66—68|1}}
* ''[[Шаль, Мишель]]''. [[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VII/ДО|О сочинении Чевы, под заглавием: ''De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio'' (in — 4°, Milan, 1678).]] // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.
* ''[[Чева, Джованни|Giovanni Ceva]]''. [https://books.google.com/books?id=AsNlAAAAcAAJ&ots=XZWs_jEwTK&dq=De De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio] Milan, 1678.

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Аффинная геометрия]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Чевы]]

Теорема Чевы - История изменений

imported>Alex NB OT: Википедия:Запросы к ботоводам § удалить из статей все элементы без атрибута title