imported>Tosha: откат правок 37.166.84.5 (обс.) к версии Tosha

2025-09-11T19:25:26Z

откат правок 37.166.84.5 (обс.) к версии Tosha

Новая страница

[[File:Helly's theorem.svg|400px|thumb|На плоскости, непустое пересечения всех троек выпуклых фигур влечёт, что пересечение всех непусто]]
'''Теорема Хелли''' — классический результат [[комбинаторная геометрия|комбинаторной геометрии]] и [[выпуклый анализ|выпуклого анализа]].
Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.

==Формулировки==
===Конечные семейства===
Предположим, что
: <math>X_1,X_2,\dots,X_n</math>
есть конечное семейство [[выпуклое подмножество|выпуклых]] [[Подмножество|подмножеств]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]] <math>\R^d</math>, такое что <math>n>d</math> и пересечение любых <math>d+1</math> из них непусто.
Тогда [[Пересечение множеств|пересечение]] всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть
: <math>\bigcap_{j=1}^n X_j\ne\emptyset</math>.<ref>''Шикин Е. В.'' Линейные пространства и отображения. - М., [[МГУ]], 1987. - c. 177</ref>

===Бесконечные семейства===
Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:

Пусть <math>\{X_\alpha\}</math> есть произвольное семейство выпуклых [[компактное множество|компактных]] подмножеств <math>\mathbb R^d</math>, такое что пересечение любых <math>d+1</math> из них непусто.
Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

== Следствия ==
* '''Теорема Юнга:''' Пусть <math>S</math> есть конечное множество точек в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве <math>\R^d</math> такое, что любые <math>d+1</math> точек из <math>S</math> можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество <math>S</math> можно накрыть единичным шаром.
* '''Радиус Юнга:''' Пусть <math>X</math> — множество точек в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве <math>\R^{d}</math>, с [[диаметр множества|диаметром]] <math>\mathrm{diam}\, X \leqslant 2</math>. Тогда существует <math>d</math>-мерный замкнутый шар <math>B^{d}(r)</math> радиуса <math>r=\sqrt{2d/(d+1)}</math>, такой что <math>X \subset B^{d}(r)</math>. Если множество <math>X</math> не принадлежит никакому меньшему шару, то <math>X</math> содержит вершины <math>d</math>-[[симплекс]]а с длиной каждого ребра <math>2</math>.<ref>''Шикин Е. В.'' Линейные пространства и отображения. — М., [[МГУ]], 1987. — с. 293</ref>
*[[Теорема Киршбрауна]]

== Вариации и обобщения ==
* Пусть <math>H</math> — [[гильбертово пространство]] (не обязательно [[сепарабельное пространство|сепарабельное]]) и <math>X_\alpha</math> — семейство [[замкнутое множество|замкнутых]] [[ограниченное множество|ограниченных]] выпуклых подмножеств <math>H</math>. Если пересечение произвольного конечного подсемейства <math>X_\alpha</math> не пусто то <math>\cap_\alpha X_\alpha</math> также непусто.

== История ==
Теорема была доказана [[Хелли, Эдуард|Эдуардом Хелли]] в 1913, о чём он рассказал [[Радон, Иоганн|Радону]], опубликовал он её только в 1923<ref>''E. Helly'' [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=248923 Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten]{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}, — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.</ref>, уже после публикаций Радона<ref>''J. Radon'' [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=29112 Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten]{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}, — Math. Ann.
83 (1921), 113—115.</ref> и [[Кёниг, Денеш|Кёнига]]<ref>''D. König'' Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.</ref>.

== См. также ==
* [[Нерв покрытия]]
* [[Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Данцер Л., [[Грюнбаум, Бранко|Грюнбаум Б.]], [[Кли, Виктор|Кли В.]]|заглавие=Теорема Хелли и ее применения|год=1968|серия=|ссылка=|место=М|издательство=Мир|тираж=|страниц=159|isbn=}}

[[Категория:Комбинаторная геометрия]]
[[Категория:Выпуклая геометрия]]
[[Категория:Теоремы геометрии|Хелли]]
[[Категория:Выпуклый анализ]]

Теорема Хелли - История изменений

imported>Tosha: откат правок 37.166.84.5 (обс.) к версии Tosha