imported>Бор-Мел: /* Шаг 1 */ орфография, пунктуация

2022-02-14T02:41:15Z

Шаг 1: орфография, пунктуация

Новая страница

'''Теорема''' (или '''парадокс''') '''Хаусдорфа''' — доказываемое в [[Теория множеств|теории множеств]] утверждение о существовании [[счётное множество|счётного]] подмножества <math>T</math> двумерной сферы <math>S^2</math>, дополнение <math>\bar S^2=S^2\setminus T</math> которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math>, [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтных]] друг другу и множеству <math>B\cup C</math>. Впервые опубликована<ref>F. Hausdorff, ''[http://docserver.digizeitschriften.de/contentserver/contentserver?command=docconvert&docid=362514 Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen]{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2019 |bot=InternetArchiveBot }} {{недоступная ссылка|число=13|месяц=05|год=2013}}'', [http://gdz-srv3.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D25917.html Mathematische Annalen] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050306100927/http://gdz-srv3.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D25917.html |date=2005-03-06 }}, vol 75. (1914) pp. 428—434.</ref> в 1914 году [[Хаусдорф, Феликс|Феликсом Хаусдорфом]]. Эта теорема (как и основанный на её идеях [[парадокс удвоения шара]]) демонстрирует несоответствие [[Теория множеств|теоретико-множественных]] представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии <math>\bar S^2</math> можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии <math>\bar S^2</math>). Поэтому иногда называется «парадоксом».

Доказательство теоремы существенно использует [[аксиома выбора|аксиому выбора]]. Замена этой аксиомы некоторыми альтернативными позволяет доказать отрицание теоремы Хаусдорфа (то есть невозможность соответствующего разбиения сферы).

Из теоремы следует, что на двумерной сфере не существует [[Конечно-аддитивная мера|конечно-аддитивной меры]], определённой на всех подмножествах и принимающей равные значения на конгруэнтных множествах (то есть инвариантной относительно [[Изометрия (математика)|движений]] сферы).

Иногда под «парадоксом Хаусдорфа» понимают другую теорему, доказанную в той же статье, что и рассматриваемая.
Эта теорема даёт пример, похожий на [[множество Витали]]. Она утверждает, что [[единичный отрезок]] можно разбить на [[счётное множество|счётное]] число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет [[мера множества|меры]], определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить [[Конечно-аддитивная мера|конечно-аддитивную меру]] для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.

== Идея доказательства ==
Здесь мы докажем упрощённый вариант теоремы. А именно, мы докажем существование разбиения сферы с выколотым счётным множеством точек (назовём её <math>\bar S^2</math>) на три попарно конгруэнтных куска <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> таких, что <math>B\cup C</math> конгруэнтно подмножеству <math>A</math>. Как и теорема Хаусдорфа, это утверждение показывает, что на двумерной сфере нельзя определить «площадь», значение которой существовало бы для любого подмножества и оставалось бы неизменным при [[Изометрия (математика)|движениях]].

Доказательство разбивается на следующие три шага:
# Находим специальное разбиение некоторой [[группа (математика)|группы]] с двумя образующими <math>\Gamma</math> на три подмножества.
# Строим свободное изометрическое [[действие группы|действие]] этой группы на <math>\bar S^2</math>.
# Используем разбиение <math>\Gamma</math> и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.

=== Шаг 1 ===
[[Файл:Kelli_graph_free_prod.png|right|thumb|300px|[[Граф Кэли]] группы <math>\Gamma</math>, и подмножества <math>{\mathbb A},\;{\mathbb B}</math> и <math>{\mathbb C}</math> отмечены соответственно красным, синим и зелёным цветом.]]
Рассмотрим группу <math>\Gamma</math> с двумя образующими <math>a</math> и <math>b</math> и соотношениями <math>a^2=1</math> и <math>b^3=1</math> (иначе говоря, <math>\Gamma={\mathbb Z}_2*{\mathbb Z}_3</math>, где <math>*</math> обозначает [[свободное произведение]] групп). Группа <math>\Gamma</math> состоит из пустого слова, которое мы обозначаем <math>1</math> (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов <math>b,\;b^{-1}</math> и <math>a</math>, таких что <math>b</math> и <math>b^{-1}</math> чередуются с <math>a</math>. Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как <math>a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots b^{\pm 1}a</math> или <math>b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\ldots b^{\pm 1}a</math>
или <math>a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\ldots ab^{\pm 1}</math> или <math> b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\ldots ab^{\pm 1}</math>.

Группу <math>\Gamma</math> можно разбить следующим образом: пусть <math>{\mathbb A}</math> будет множество всех слов, начинающихся с <math>b</math>, <math>{\mathbb B}</math> будет множество всех слов, начинающихся с <math>b^{-1}</math> и <math>{\mathbb C}</math> будет множество всех остальных элементов <math>\Gamma</math>. Ясно, что
: <math>\Gamma={\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup{\mathbb C},</math>
то есть мы разбили нашу группу <math>\Gamma</math> на три непересекающихся подмножества. Также
: <math>{\mathbb A}=b{\mathbb C},</math>
: <math>{\mathbb B}=b^{-1}{\mathbb C},</math>
: <math>{\mathbb A}\cup{\mathbb B}\subset{\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup\{1,\;a\}=a{\mathbb C}.</math>

=== Шаг 2 ===
Несложно показать, что существует представление <math>\Gamma</math> с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток <math>\bar S^2</math>.
(На самом деле, если взять два поворота сферы на углы <math>\pi</math> и <math>2\pi/3</math> общего положения и сопоставить их образующим <math>a</math> и <math>b</math>, то индуцированное действие <math>\Gamma</math> будет удовлетворять этому условию).

=== Шаг 3 ===
Рассмотрим множество <math>X</math>, содержащее по одному элементу каждой орбиты <math>\Gamma</math> на <math>\bar S^2</math> (утверждение о существовании этого множества опирается на [[аксиома выбора|аксиому выбора]]). Тогда наша «колотая» сфера <math>\bar S^2</math> представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:
: <math>\bar S^2=A\cup B\cup C,</math>
где
: <math>A={\mathbb A}X,\; B={\mathbb B}X,\; C={\mathbb C}X.</math>

Используя тот же приём, что и на шаге 1, мы получаем:
: <math>A=bC,</math>
: <math>B=b^{-1}C,</math>
: <math>A\cup B\subset aC,</math>
и, так как <math>a</math> и <math>b</math> являются изометриями, мы получаем, что <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> конгруэнтны, и <math>A\cup B</math> конгруэнтно подмножеству <math>C</math>.

== Литература ==
{{примечания}}

[[Категория:Теоремы теории множеств|Хаусдорфа]]
[[Категория:Парадоксы теории множеств|Хаусдорфа]]
[[Категория:Аксиома выбора]]

Теорема Хаусдорфа - История изменений

imported>Бор-Мел: /* Шаг 1 */ орфография, пунктуация