https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?action=history&feed=atom&title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%B0%D1%85%D0%B0Теорема Фейербаха - История изменений2026-07-17T18:48:30ZИстория изменений этой страницы в викиMediaWiki 1.45.3https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%B0%D1%85%D0%B0&diff=10082&oldid=previmported>Dimaniznik: /* Преамбула */ не объединено2026-02-27T16:48:12Z<p><span class="autocomment">Преамбула: </span> не объединено</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>[[Файл:Фей8.png|мини|справа|405x405пкс|[[Окружность девяти точек]] (проходящая через середины сторон треугольника) отмечена пунктиром.]]<br />
'''Теорема Фейербаха''' — результат [[Геометрия треугольника|геометрии треугольника]]. Теорема была сформулирована и доказана [[Фейербах, Карл Вильгельм|Карлом Вильгельмом Фейербахом]] в [[1822 год в науке|1822 году]].<br />
<br />
== Формулировка ==<br />
[[Окружность девяти точек]] произвольного треугольника [[Касание|касается]] [[вписанная окружность|вписанной]] и всех трёх [[вневписанная окружность|вневписанных]] окружностей этого треугольника.<br />
<br />
== Замечания ==<br />
* Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с [[окружность девяти точек|окружностью девяти точек]] называются '''точками Фейербаха'''.<br />
* Каждая ''точка Фейербаха'' лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.<br />
* В [[Правильный треугольник|равностороннем треугольнике]] окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.<br />
<br />
* Три точки касания трёх [[вневписанная окружность|вневписанных]] окружностей треугольника с его с [[окружность девяти точек|окружностью девяти точек]] образуют так называемый '''треугольник Фейербаха''' для данного треугольника.<br />
<br />
* ''[[Точка Фейербаха]]'' ''F'' в [[Энциклопедия центров треугольника|Энциклопедии центров треугольника]] Кларка Кимберлинга идентифицируется, как точка (центр) X(11).<br />
<br />
=== О доказательствах ===<br />
Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию.<br />
Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху.<br />
Самое короткое известное доказательство использует обратную [[теорема Кейси|теорему Кейси]]{{sfn|Casey|1866|с=411}}. Доказательство без [[Инверсия (геометрия)|инверсии]] использует критерий Архимеда<ref>{{Cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=fX1HJE0C4Nw&t=1257s|title=Feuerbach's theorem #SoME3|lang=ru-RU|access-date=2023-09-08|archive-date=2023-09-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20230908124535/https://www.youtube.com/watch?v=fX1HJE0C4Nw&t=1257s|url-status=live}}</ref><br />
<br />
== Связанные утверждения ==<br />
* '''Гипербола Фейербаха''' — описанная гипербола, проходящая через [[ортоцентр]] и центр [[вписанная окружность|вписанной окружности]]. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит ''окружность, проведённая через основания [[биссектриса|биссектрис]]''.<ref>{{Книга:Акопян-Заславский|2011|105}}</ref><ref>''Dan Pedoe''. Circles: A Mathematical View, Mathematical Association of America, Washington, D. C., 1995.</ref><br />
[[Файл:Фей5.png|справа|мини|405x405пкс|Точки Фейербаха: <math>F</math>, <math>F_a</math>, <math>F_b</math>, <math>F_c</math>.]]<br />
* ''Точка Фейербаха'' ''F'' лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.<br />
* Пусть <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> расстояния от ''точки Фейербаха'' ''F'', до вершин [[Серединный треугольник|серединного треугольника]] (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда<ref>{{mathworld|id=FeuerbachPoint|title=Feuerbach Point}}</ref><br />
*: <math>x+y+z = 2\max(x,y,z) </math>.<br />
:* Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств [[Окружность девяти точек|теоремы Мавло]] не для дуг, а для отрезков.<br />
Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «[[Теорема Помпею]]».<br />
<br />
* Несколько новых теорем о ''точке Фейербаха'' ''F'' можно найти у Ф. Ивлева<ref>Ивлев Ф. Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха/ Математическое просвещение, сер. 3, вып. 15, 2011. С. 219—228</ref>.<br />
<br />
== Примечания ==<br />
{{примечания|35em}}<br />
<br />
== Литература ==<br />
* ''Дм. Ефремов,'' [https://web.archive.org/web/20050302151746/http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm Новая геометрия треугольника]. (1902)<br />
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}<br />
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|49-50|1}}<br />
* Точка Феербаха (Feuerbach point. англ. яз.). https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point<br />
* Точки Феербаха (англ. яз.). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html<br />
* {{citation<br />
| last = Thébault | first = Victor<br />
| doi = 10.2307/2305531<br />
| journal = [[American Mathematical Monthly]]<br />
| mr = 0033039<br />
| pages = 546–547<br />
| title = On the Feuerbach points<br />
| volume = 56<br />
| year = 1949}}<br />
* {{citation<br />
| last1 = Emelyanov | first1 = Lev<br />
| last2 = Emelyanova | first2 = Tatiana<br />
| journal = Forum Geometricorum<br />
| mr = 1891524<br />
| pages = 121–124 (electronic)<br />
| title = A note on the Feuerbach point<br />
| volume = 1<br />
| year = 2001}}<br />
* {{citation<br />
| last1 = Suceavă | first1 = Bogdan<br />
| last2 = Yiu | first2 = Paul<br />
| journal = Forum Geometricorum<br />
| mr = 2282236<br />
| pages = 191–197<br />
| title = The Feuerbach point and Euler lines<br />
| volume = 6<br />
| year = 2006}}<br />
* {{citation<br />
| last = Vonk | first = Jan<br />
| journal = Forum Geometricorum<br />
| mr = 2534378<br />
| pages = 47–55<br />
| title = The Feuerbach point and reflections of the Euler line<br />
| volume = 9<br />
| year = 2009}}<br />
* {{citation<br />
| last1 = Nguyen | first1 = Minh Ha<br />
| last2 = Nguyen | first2 = Pham Dat<br />
| journal = Forum Geometricorum<br />
| mr = 2955643<br />
| pages = 39–46<br />
| title = Synthetic proofs of two theorems related to the Feuerbach point<br />
| volume = 12<br />
| year = 2012}}<br />
* {{статья<br />
| автор = John Casey<br />
| издание = Proceedings of the Royal Irish Academy<br />
| jstor = 20488927<br />
| страницы = 396—423<br />
| заглавие = On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane<br />
| номер = 9<br />
| год = 1866<br />
|ref=Casey<br />
}}<br />
<br />
[[Категория:Геометрия треугольника]]<br />
[[Категория:Теоремы планиметрии|Фейербаха]]</div>imported>Dimaniznik