imported>Tosha: /* Литература */

2025-06-14T03:44:15Z

Литература

Новая страница

{{Значения|Теорема Нэша}}
'''Теорема Нэша — Кёйпера''' утверждает, что любое гладкое [[короткое отображение|короткое]] [[вложение]] (или [[Погружение (топология)|погружение]]) <math>n</math>-мерного [[Риманово многообразие|Риманова многообразия]] в [[Евклидово пространство]] <math>\R^q</math> при <math>q>n</math> можно аппроксимировать <math>C^1</math>-гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).
Термин изометрическое вложение/погружение здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

==Формулировка==

Пусть <math>(M,g)</math> есть [[Риманово многообразие]] и <math>f\colon M^n\to\R^q</math> есть [[короткое отображение|короткое]] <math>C^\infty </math>-гладкое [[вложение]] (или [[Погружение (топология)|погружение]]) в [[Евклидово пространство]] <math>{\mathbb R}^q</math> и <math>q> n</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0 </math> существует вложение (или соответственно погружение) <math>f_\varepsilon\colon M^n\to\R^q</math> такое, что
# <math>f_\varepsilon</math> является <math>C^1</math>-гладким,
# (изометричность) для любых двух [[касательный вектор|касательных векторов]] <math>v,w\in T_x(M)</math> в [[касательное пространство|касательном пространстве]] точки <math>x\in M</math> мы имеем:
:: <math>g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle.</math>
# (<math>C^0</math>-близость) <math>|f(x)-f_\varepsilon(x)|<\varepsilon</math> для всех <math>x\in M</math>.

===Замечания===
Этот результат является весьма [[Контринтуитивный результат|контринтуитивным]]. В частности из него следует что любая [[многообразие|замкнутая]] [[ориентация|ориентированная]] поверхность может быть изометрично <math>C^1</math>-вложена в произвольно малый трёхмерный шар.
Из [[формула Гаусса|формулы Гаусса]] следует, что такое вложение невозможно в классе <math>C^2</math>-вложений.

Система уравнений определяющая изометричное вложение имеет <math>q</math> неизвестных — это координатные функции <math>f_\varepsilon</math> и зависят от <math>n{\cdot}(n+1)/2</math> компонент метрического тензора.
Таким образом система является [[Переопределённая система|переопределеной]] при <math>q<n{\cdot}(n+1)/2</math>.
Тем не менее согласно теореме, она имеет решение.

== История ==

Теорема была доказана [[Нэш, Джон Форбс|Нэшем]] в предположении <math>q> n+1 </math> вместо <math>q> n </math> и приведена к настоящему виду [[Кёйпер, Николас|Кёйпером]]; он заменил одну конструкцию (скучивание Нэша) на более сложную, оставив основную часть доказательства без изменений.

== Вариации обобщения ==
* [[Теорема Нэша о регулярных вложениях]]
* Теорема [[Громов, Михаил Леонидович|Громов]]а о складках утверждает, что для любого [[короткое отображение|короткого отображения]] из <math>n</math>-мерного [[риманово многообразие|риманова многообразия]] в <math>\R^n</math> существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.

== Литература ==

* {{статья|автор=[[Кёйпер, Николас|Н. Х. Кёйпер]]|заглавие=О ''C''<sup>''1''</sup>-изометрических вложениях|ссылка=http://mi.mathnet.ru/mp478|язык=ru|издание=[[Математика (журнал)|Математика]]|год=1957|том=1|номер=2|страницы=17—28|}}

*{{статья|автор=[[Нэш, Джон Форбс|Дж. Нэш]]|заглавие=''C''<sup>''1''</sup>-изометрические вложения|ссылка=http://mi.mathnet.ru/mat8 |язык=ru|издание=[[Математика (журнал)|Математика]]|год=1957|том=1|номер=2|страницы=3—16|}}

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]
[[Категория:Теоремы геометрии|Нэша — Кёйпера]]

Теорема Нэша — Кёйпера - История изменений

imported>Tosha: /* Литература */