imported>Alex NB OT: Википедия:Запросы к ботоводам § удалить из статей все элементы без атрибута title

2025-08-19T23:09:02Z

Википедия:Запросы к ботоводам § удалить из статей все элементы <abbr> без атрибута title

Новая страница

'''Теоре́ма [[Менелай Александрийский|Менела́я]]''', или '''теорема о трансверсалях''', или '''теорема о полном [[четырёхсторонник]]е''', — классическая теорема [[Аффинная геометрия|аффинной геометрии]].

== Формулировка ==

[[Файл:Teorema_menelaya.gif|right]]

Если точки <math>A',B'</math> и <math>C'</math> лежат соответственно на сторонах <math>BC,CA</math> и <math>AB</math> треугольника <math>\triangle ABC</math> или на их продолжениях<ref>На самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки.</ref>, то они [[коллинеарные точки|коллинеарны]] тогда и только тогда, когда
:<math>\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.</math>
где <math>\frac{AB'}{B'C}</math>, <math>\frac{CA'}{A'B}</math> и <math>\frac{BC'}{C'A}</math> обозначают [[отношение направленных отрезков|отношения направленных отрезков]].

{{Hider|
title = Доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Проведем через точку <math>C</math> прямую, параллельную прямой <math>AB</math>, и обозначим через <math>K</math> точку пересечения этой прямой с прямой <math>A'C'</math>.
Поскольку треугольники <math>\triangle AC'B'</math> и <math>\triangle CKB'</math> подобны (по двум углам), то
:<math>\frac{|AC'|}{|CK|} = \frac{|B'A|}{|B'C|}</math>.
Так как подобными являются также треугольники <math>\triangle BC'A'</math> и <math>\triangle CKA'</math>, тем самым
:<math>\frac{|CK|}{|C'B|} = \frac{|A'C|}{|BA'|}</math>.
Исключая <math>CK</math>, получаем
:<math>\frac{|AC'|}{|C'B|}\cdot\frac{|BA'|}{|A'C|}\cdot\frac{|CB'|}{|B'A|} = 1</math>.
Возможны два расположения точек <math>A',B'</math> и <math>C'</math>: либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон.
Отсюда для [[отношение направленных отрезков|отношений направленных отрезков]] имеем
:<math>\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.</math>
}}

===Замечания===

*В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
*: <math>\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.</math>

== Вариации и обобщения ==

* Тригонометрический эквивалент:
: <math>\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1</math>, где все углы — [[Ориентированный угол|ориентированные]].
* В [[Сферическая геометрия|сферической геометрии]] теорема Менелая приобретает вид
: <math>\frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1.</math>
* В [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] теорема Менелая приобретает вид
: <math>\frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1.</math>

== История ==

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» [[Менелай Александрийский|Менелая Александрийского]] (около 100 года нашей эры).
Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу.
Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии.
Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как [[Сабит ибн Корра]], [[ан-Насави]], [[ал-Магриби]], [[ас-Сиджизи]], [[ас-Салар]], [[Джабир ибн Афлах]], [[Насир ад-Дин ат-Туси]].

Итальянский математик [[Чева, Джованни|Джованни Чева]] в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей [[теорема Чевы|теоремы Чевы]] для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.<ref>G. Ceva, [https://books.google.com/books?id=AsNlAAAAcAAJ&ots=XZWs_jEwTK&dq De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio] Milan, 1678</ref>

== Применения ==
* [[Теорема Сальмона]]
* Многие теоремы [[проективная геометрия|проективной геометрии]], например, [[теорема Паппа]] и [[теорема Дезарга]], доказываются многократным применением теоремы Менелая.

== См. также ==
* [[Двойное отношение]]
* [[Отношение направленных отрезков]]
* [[Пропорциональные отрезки]]
* [[Прямая Ньютона]]
* [[Теорема Чевы]]
* [[Теорема Ван-Обеля о треугольнике]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==

* ''[[Балк, Марк Беневич|Балк М. Б.]], [[Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.]]'' Геометрия масс. — {{М.}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1987. —([[Библиотечка «Квант»]])).
* {{книга |автор=Ефремов Д. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm |заглавие=Новая геометрия треугольника |место=Одесса |год=1902 |страниц=334 |archive-url=https://web.archive.org/web/20050302151746/http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm|archive-date=2005-03-02}}
* {{книга | автор = {{nobr|Ефремов Д.}} | заглавие = Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).| ссылка = https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=199934| место = Москва | издательство = Ленанд"| год = 2015| страниц = 352 | isbn = 978-5-9710-2186-5}}
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|73-74|1}}
* {{статья |автор=[[Шаль, Мишель]] |заглавие=[[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание VI/ДО|О теореме Птоломея относительно треугольника, пересечённого трансверсалью]] |издание=[[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов|Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов]] |том=2 |место=М. |год=1883}}
* {{статья |автор=Sidoli N. |ссылка=http://individual.utoronto.ca/acephalous/Sidoli_2006.pdf |заглавие=The sector theorem attributed to Menelaus |издание=SCIAMVS |номер=7 |год=2006 |страницы=43–79}}

[[Категория:Аффинная геометрия]]
[[Категория:Сферическая геометрия]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Менелая]]

Теорема Менелая - История изменений

imported>Alex NB OT: Википедия:Запросы к ботоводам § удалить из статей все элементы без атрибута title