imported>SchlurcherBot: Bot: http → https

2026-01-28T00:26:31Z

Bot: http → https

Новая страница

'''Теоре́ма Коте́льникова''' ('''теорема [[Найквист, Гарри|На́йквиста]] — [[Шеннон, Клод|Ше́ннона]]''', '''теорема отсчётов''') — фундаментальное утверждение в области [[Цифровая обработка сигналов|цифровой обработки сигналов]], связывающее непрерывные и [[Дискретный сигнал|дискретные]] сигналы. Теорема была предложена и доказана [[Котельников, Владимир Александрович|Владимиром Котельниковым]] в [[1933 год в науке|1933 году]]. Теорема утверждает, что аналоговый сигнал с финитным спектром (т. е. со спектром, ограниченным некоторой частотой <math>f_m</math>) полностью определяется последовательностью своих дискретных значений (отсчётов), взятых через интервалы времени <math>\Delta t \le 1/(2f_m)</math>, то есть с [[Частота дискретизации|частотой дискретизации]] <math>f_d \ge 2f_m</math><ref name="Мазор">''Мазор Ю. Л. и др.'' Энциклопедия Радиотехника, 2002. — 513.</ref><ref>''Васин В. А. и др.'' Радиосистемы передачи информации, 2005. — С. 27.</ref><ref name="Солонина">[https://books.google.ru/books?id=tWbuyk6K28oC&pg=PA195#v=onepage&q&f=false ''Солонина А. И.'' и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций, 2005. — С. 195.]</ref>. Другими словами, при выполнении этого условия аналоговый сигнал можно точно восстановить по его дискретным значениям<ref name="Нефедов">[https://books.google.ru/books?id=CB8kEAAAQBAJ&pg=PA374#v=onepage&q&f=false ''Нефедов В. И., Сигов А. С.'' Теория электросвязи. Учебник для СПО. — C. 374.]</ref>. Эта теорема известна под названием теоремы отсчётов{{sfn|Биккенин, Чесноков|2010|c=57}}.

== Пояснение ==
[[Файл:bandlimited.svg|thumb|right|300px|График модуля спектра сигнала с ограниченной полосой частот. <math>B=f_m</math>.]]
[[Файл:ReconstructFilter 1.png|thumb|right|300px|Спектр сигнала после дискретизации <math>\delta</math>-функциями, имеющий период <math>f_s=f_d,</math> и передаточная характеристика идеального ФНЧ, выделяющего центральный парциальный спектр (верхний рисунок). <br> Спектр после прохождения дискретного сигнала через идеальный ФНЧ — совпадает со спектром исходного сигнала (нижний рисунок). Таким образом, исходный аналоговый сигнал выделяется из дискретного сигнала без ошибок.]]
Физически реализуемые сигналы (например, звуковая запись) ограничены во времени, поэтому их [[Спектральная плотность|спектры]] не ограничены по частоте (нефинитны).
Условие ограниченности спектра сигнала конечной верхней частотой предполагает, что сигнал не ограничен во времени (нефинитен), то есть начался бесконечно давно и никогда не закончится. Но даже спектр бесконечно длительного сигнала будет нефинитен, если сигнал содержит [[точка разрыва|точки разрыва любого рода]].

Теорема Котельникова определяет условия, при которых аналоговый сигнал может быть точно восстановлен по своим дискретным значениям:

* Спектр аналогового сигнала должен быть ограничен некоторой верхней (максимальной) частотой <math>f_m</math> (финитен). Однако так как реальные сигналы имеют бесконечный (нефинитный) спектр, то в качестве максимальной частоты в спектре таких сигналов приходится выбирать некоторую частоту <math>f_m</math>, определяющую эффективную ширину спектра<ref>''Мазор Ю. Л. и др.'' Энциклопедия Радиотехника, 2002. — C. 511.</ref>. Практически частоту дискретизации выбирают с некоторым запасом, например, <math>f_d > 3f_m</math><ref name="Мазор_2">Мазор Ю. Л. и др. Энциклопедия Радиотехника, 2002. — 512.</ref> или <math>f_d=2,5...5~f_m</math><ref name="Васин">''Васин В. А. и др.'' Радиосистемы передачи информации, 2005. — С. 29.</ref>. Поэтому точное восстановление реального сигнала по дискретным значениям принципиально невозможно.
: Спектр дискретного (дискретизированного) сигнала является периодическим с периодом, равным частоте дискретизации <math>f_d.</math> Поэтому, если спектр сигнала не ограничен конечной частотой <math>f_m</math>, то возникает эффект наложения парциальных (частичных) составляющих спектра (явление, называемое [[алиасинг]]), который может быть уменьшен сглаживанием исходного аналогового сигнала путём фильтрации самых верхних его частот. При этом такое сглаживание ({{lang-en|anti-aliasing}}) должно быть выполнено до дискретизации<ref>[https://books.google.ru/books?id=kRTqAwAAQBAJ&pg=PA266#v=onepage&q&f=false ''Рафаэл Гонсалес, Ричард Вудс.'' Цифровая обработка изображений, 2012. — С. 266.]</ref>. [[Фильтр (электроника)|Фильтры]], сглаживающие сигнал перед дискретизацией, называются антиалиасинговыми<ref>[https://books.google.ru/books?id=CB8kEAAAQBAJ&pg=PA382#v=onepage&q&f=false ''Нефедов В. И., Сигов А. С.'' Теория электросвязи. Учебник для СПО. — C. 382.]</ref>. Например, при дискретизации стандартного телефонного сигнала исходный речевой аналоговый сигнал пропускается через полосовой антиалиасинговый фильтр с полосой пропускания 0,3…3,4 кГц. Тогда минимально допустимой частотой дискретизации будет <math>f_d=</math>6,8 кГц, а в качестве стандартной выбрана 8 кГц<ref name="Солонина"/>.
* Частота дискретизации должна в два или более раз превосходить верхнюю частоту в спектре сигнала<ref name="Мазор"/>. Это требование также следует из того, что спектр дискретного сигнала является периодическим с периодом равным частоте дискретизации. Таким образом, если условие <math>f_d \ge 2f_m</math> не выполняется, то возникает наложение спектров (алиасинг), поэтому будет невозможно восстановить аналоговый сигнал из дискретного представления без искажений. Также для точного восстановления аналогового сигнала из дискретного необходимо наличие физически нереализуемого идеального [[Фильтр нижних частот|фильтра нижних частот]] с полосой пропускания <math>0...f_m</math>. Поэтому восстановление аналогового сигнала по дискретным значениям всегда сопровождается погрешностью<ref name="Мазор_2"/>.

Неравенство <math>f_d \ge 2f_m</math> в условии теоремы Котельникова предполагает, что спектр сигнала на частоте <math>f_m</math> равен нулю. Однако, например, для неограниченного по времени строго синусоидального сигнала с несущей частотой <math>f_0</math>, у которого в спектре содержатся лишь две спектральные линии с частотами <math>-f_0</math> и <math>f_0</math>, спектр равен нулю для <math>|f|</math> строго больших <math>f_0= f_m</math>. Поэтому в этом случае необходимо, чтобы частота дискретизации строго превышала удвоенную максимальную частоту в спектре сигнала, то есть <math>f_s > 2f_m</math>. В противном случае при выборе в соответствии с условием теоремы Котельникова <math>f_d = 2f_m</math> (ровно два отсчета за период) при дискретизации такого сигнала может оказаться так, что все дискретные отсчёты станут равными нулю. Очевидно, что в этом случае восстановление исходного сигнала из дискретного станет невозможным<ref>[https://books.google.ru/books?id=kRTqAwAAQBAJ&pg=PA266#v=onepage&q&f=false ''Рафаэл Гонсалес, Ричард Вудс.'' Цифровая обработка изображений, 2012. — С. 266—267.]</ref>. Однако такое строгое неравенство требуется лишь в том случае, когда значение спектра сигнала на максимальной частоте не равно нулю. Если на максимальной частоте спектр сигнала равен нулю, то необходимость в строгом неравенстве отпадает.

== Интерполяционная формула ==
Теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал <math>x(t)</math> можно представить в виде интерполяционного [[Ряд Котельникова|ряда Котельникова]]<ref name="Мазор"/>:

: <math>\widehat{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta t) \operatorname{sinc}\left[\frac{\pi}{\Delta t}(t - k\Delta t)\right],</math>

: где <math>\operatorname{sinc}(z) = \sin(z)/z</math> — функция {{math|[[sinc]]}}.

Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям <math>\Delta t \le \frac{1}{2f_m}</math> или <math>f_d \ge 2f_m</math>. Частоту, равную половине частоты дискретизации, называют [[Частота Найквиста|частотой Найквиста]]: <math>f_N=f_d/2</math><ref>[https://books.google.ru/books?id=T3wuEQAAQBAJ&pg=PA76#v=onepage&q&f=false Дьяченко Ю. Н, Щепетов А. Г. Технические измерения. Преобразование измерительных сигналов. Учебник и практикум для СПО, 2024. — С. 76.]</ref>. При выполнении условий теоремы Котельникова <math>\widehat{x}(t)=x(t)</math><ref>Васин В. А. и др. Радиосистемы передачи информации, 2005. — С. 28.</ref>.

Однако в этой сумме присутствует бесконечное число членов ряда, что практически неосуществимо. Поэтому реально число членов ряда <math>N</math> выбирают конечным, причём погрешность восстановления сигнала будет тем меньшей, чем больше <math>N</math><ref name="Мазор_2"/>.

Также ограничение спектра реального сигнала частотой <math>f_m</math> путём его предварительной фильтрации приводит к погрешности восстановления, относительный средний квадрат которой равен<ref name="Васин"/><ref>''Васин В. А. и др.'' Радиосистемы передачи информации, 2005. — С. 17.</ref>:

: <math>\delta_f^2 = \frac{P_\Delta}{P_x}=\frac{\int\limits_{f_m}^{\infty}|X(f)|^2 df}{\int\limits_{0}^{\infty} |X(f)|^2 df},</math>

: где <math>P_\Delta = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} (\widehat{x}(t)-x(t))^2 dt</math> — мощность разностного сигнала,
: <math>\widehat{x}(t)</math> — восстановленный аналоговый сигнал из дискретного,
: <math>P_x=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} x^2(t) dt</math> — средняя мощность сигнала <math>x(t)</math>,
: <math>T</math> — длительность сигнала,
: <math>X(f)</math> — спектр сигнала <math>x(t)</math>.

Если спектр сигнала не ограничивать с помощью предварительной фильтрации, то относительный средний квадрат ошибки восстановления сигнала из-за алиасинга в два раза превышает <math>\delta_f^2.</math> Таким образом, предварительная фильтрация сигнала с помощью антиалиасингового фильтра является целесообразной<ref name="автоссылка1">''Васин В. А. и др.'' Радиосистемы передачи информации, 2005. — С. 30.</ref>.

== История ==
Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой [[Найквист, Гарри|Найквиста]] со ссылкой на работу «{{lang|en|Certain topics in telegraph transmission theory}}» [[1928 год в науке|1928 года]], в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе [[Линия связи|линии связи]] для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Примерно в это же время {{iw|Кюпфмюллер, Карл|Карл Кюпфмюллер|en|Karl Küpfmüller}} получил тот же результат<ref> ''Küpfmüller K.'' Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467, 1928. (German); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467. (English translation).</ref>. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана [[Котельников, Владимир Александрович|Владимиром Котельниковым]] в [[1933 год в науке|1933 году]] в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом<ref>{{статья
|автор = Котельников В. А.
|заглавие = О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи
|ссылка = http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf
|издание = Успехи физических наук
|тип = Журнал
|год = 2006
|номер = 7
|страницы = 762—770
|archivedate = 2013-06-23
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20130623172713/http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf
}}</ref><ref>''Харкевич А. А.'' Спектры и анализ — 4-е изд. — Москва : URSS : ЛКИ, 2007. — С. 89.</ref>: ''«любую функцию {{s|<math>F(t)</math>,}} состоящую из частот {{s|от 0}} {{s|до <math>f_m</math>,}} можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через интервалы времени {{s|<math>\Delta t = 1/(2f_m)</math> секунд}}»''. Независимо от него эту теорему в [[1949 год в науке|1949 году]] доказал [[Шеннон, Клод|Клод Шеннон]] в работе «Связь при наличии шума»<ref name="Нефедов"/><ref>C. E. Shannon. Communication in the presence of noise. Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.</ref>, поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. Статья Шеннона была написана на основе работы [[Уиттекер, Эдмунд Тейлор|Э. Т. Уиттекера]] «Функции, представленные распространением теории интерполяции» (1915 год),<ref name="Нефедов"/> также среди источников Шеннон упоминает статью [[Беннетт, Уильям Ралф|Уильяма Ралфа Беннетта]] (1941 год), в свою очередь цитирующего диссертацию {{iw|Раабе, Герберт|Герберта Раабе|de|Herbert P. Raabe}} (1939), которая содержала формулировку теоремы отсчётов<ref name=":0">{{Статья|ссылка=https://www.cse.iitd.ac.in/~pkalra/sil801/OLD/read/sampling.pdf|автор={{iw|Люке, Ханс Дитер|Lüke, Hans Dieter|de|Hans Dieter Lüke}}|заглавие=The origins of the sampling theorem|год=1999-04|язык=en|издание=IEEE Communications Magazine|том=37|выпуск=4|страницы=106–108|issn=1558-1896|doi=10.1109/35.755459}}</ref>. Некоторые японские публикации упоминают «теорему Сомеи», при этом {{iw|Сомея, Исао|Исао Сомея|ja|染谷勲}} опубликовал свою работу в 1949 году<ref name=":0" />.

В [[1999 год в науке|1999 году]] [[Международный научный фонд Эдуарда Рейна]] (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов<ref>[http://www.ras.ru/news/shownews.aspx?id=59dc9c27-d249-486e-b537-2edfb02a0ede&_Language=ru К 100-летию со дня рождения академика Котельникова Владимира Александровича]. {{Wayback|url=http://www.ras.ru/news/shownews.aspx?id=59dc9c27-d249-486e-b537-2edfb02a0ede&_Language=ru |date=20130623171824 }}.</ref>. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции рассматривалась в математическом плане многими учёными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в [[1897 год в науке|1897 году]] [[Борель, Эмиль|Эмилем Борелем]]<ref>[https://ieeexplore.ieee.org/document/993400 Erik Meijering. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing, Proc. IEEE, 90, 2002].</ref>.

== Вариации и обобщения ==
Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов<ref>''Джерри А. Дж.'' Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. — ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с. 53—89.</ref><ref>''Хургин Я. И., Яковлев В. П.'' Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и её применений в физике и технике. — ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.</ref>.

Так, вместо кардинального ряда по функциям {{math|sinc}}, являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать алгебраические полиномы. В частности, на практике применяются ступенчатая и линейная интерполяции<ref name="автоссылка1" />, ряды по конечно- или бесконечнократным [[свёртка (математический анализ)|свёрткам]] функций {{math|sinc}}.

Относительный средний квадрат погрешности интерполяции зависит от спектра сигнала <math>x(t),</math> способа интерполяции и частоты дискретизации. При ступенчатой и линейной интерполяциях частота <math>f_d</math> должна существенно превышать частоту дискретизации по Котельникову (<math>2f_m</math>). Для сигналов с прямоугольной [[Спектральная плотность мощности|спектральной плотностью мощности]], ограниченной частотой <math>f_m</math>, частота дискретизации для восстановления сигнала с относительным средним квадратом погрешности <math>\delta^2</math> равна<ref>''Васин В. А. и др.'' Радиосистемы передачи информации, 2005. — С. 32.</ref>:
* для ступенчатой интерполяции <math>f_d = \frac{\pi}{6\delta} 2f_m</math>,
* для линейной интерполяции <math>f_d = \frac{\pi}{4{,}95\sqrt{\delta}} 2f_m</math>.

Например, при <math>\delta=0{,}1</math> для ступенчатой интерполяции <math>f_d = 5{,}23\cdot2f_m,</math> для линейной интерполяции <math>f_d = 2\cdot2f_m.</math>

Справедливо следующее обобщение ряда Котельникова [[Непрерывная функция|непрерывной функции]] <math>x(t)</math> с [[финитная функция|финитным]] [[спектр]]ом с максимальной частотой <math>f_c</math> на основе [[преобразование Фурье|преобразований Фурье]] [[атомарная функция|атомарных функций]]<ref>''Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П.'' Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.</ref>:

: <math>x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\Delta t) \prod_{n=1}^M \operatorname{sinc}\left[\frac{\pi}{a^{n-1} \Delta t} (t - k\Delta t)\right],</math>

параметры <math>a</math> и <math>M</math> удовлетворяют неравенству <math>a^{M-1} (a - 2) + 1 > 0,</math> а интервал дискретизации:

: <math>0 < \Delta t \leqslant \frac{1}{2f_c} \left[1 + \frac{a^{M-1} + 1}{a^{M-1} (a - 1)}\right].</math>

== См. также ==
* [[Экстраполятор нулевого порядка]]
* [[Экстраполятор первого порядка]]
* [[Квантование (обработка сигналов)]]
* [[Передискретизация]]
* [[Теорема отсчётов в частотной области]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* [[Найквист, Гарри|H. Nyquist]]. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
* ''[[Котельников, Владимир Александрович|Котельников В. А.]]'' О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. [http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=ufn&paperid=343&what=fullt&option_lang=rus Репринт статьи] в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.
* {{книга
| автор = Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н.
| заглавие = Теория электрической связи
| место = М.
| издательство = Издательский центр «Академия»
| год = 2010
| страниц = 329
| isbn = 978-5-7695-6510-6
| ref = Биккенин, Чесноков
}}

== Ссылки ==
* [https://ru.dsplib.org/content/discrete_sampling_theorem/discrete_sampling_theorem.html Теорема Котельникова на dsplib.org]
* [https://webdemo.inue.uni-stuttgart.de/webdemos/02_lectures/uebertragungstechnik_1/sampling_theorem/ Sampling of analog signals] Интерактивная презентация дискретизации по времени. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart

{{методы сжатия}}
{{DSP}}

[[Категория:Теоремы|Котельникова]]
[[Категория:Цифровая обработка сигналов]]
[[Категория:Физические теоремы|Котельников]]
[[Категория:Именные законы и правила|Котельникова]]

Теорема Котельникова - История изменений

imported>SchlurcherBot: Bot: http → https