imported>Nyuhn: иллюстрирование

2026-02-12T18:03:06Z

иллюстрирование

Новая страница

{{другие значения}}
{{Карточка теоремы
| изображение = Множества.webm
| подпись =
| когда доказана = 1891
}}
'''Теорема Кантора''' — классическое утверждение [[Теория множеств|теории множеств]]. Доказано [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Георгом Кантором]] в 1891 году. Утверждает, что любое [[множество]] <math>A</math> [[Мощность множества|менее мощно]], чем [[Булеан|множество всех его подмножеств]] <math>2^A</math>.

== Доказательство ==
Предположим, что существует множество <math>A</math>, равномощное множеству всех своих подмножеств <math>2^A</math>, то есть, что существует такая [[биекция]] <math>f</math>, ставящая в соответствие каждому элементу множества <math>A</math> некоторое подмножество множества <math>A</math>.

Рассмотрим множество <math>B</math>, состоящее из всех элементов <math>A</math>, не принадлежащих своим образам при отображении <math>f</math><ref>Оно существует по [[Схема выделения|аксиоме выделения]], значение есть подмножество <math>A</math>.</ref>:
: <math>B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}</math>.

Отображение <math>f</math> биективно, а <math>B \subseteq A</math>, поэтому существует <math>y \in A</math> такой, что <math>f(y) = B</math>.

Теперь посмотрим, может ли <math>y</math> принадлежать <math>B</math>. Если <math>y \in B</math>, то <math>y \in f(y)</math>, а тогда, по определению <math>B</math>, <math>y \not\in B</math>. И наоборот, если <math>y \not\in B</math>, то <math>y \not\in f(y)</math>, а следовательно, <math>y \in B</math>. В любом случае, получаем противоречие.

Следовательно, исходное предположение ложно и <math>A</math> не [[Равномощность|равномощно]] <math>2^A</math>. Таким образом доказана строгость неравенства.

Для определения знака неравенства построим [[Инъекция (математика)|инъективное]] [[отображение]] <math>g\colon A \to 2^A</math>, сопоставляющее каждому элементу <math>a</math> из <math>A</math> подмножество <math>\{a\}</math>, состоящее из этого единственного элемента. В <math>2^A</math> остались множества (состоящие из более чем одного элемента). Отсюда можно сделать вывод, что <math>\left|2^A\right|>|A|</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* ''Р. Курант, Г. Роббинс'' [http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?] Глава II, § 4, С. 111—122.

== См. также ==
* [[Диагональный аргумент]]
* [[Парадокс Рассела]]
{{ВС}}
{{Теория множеств}}
[[Категория:Теоремы теории множеств|Кантора]]
[[Категория:Мощность множеств]]

Теорема Кантора - История изменений

imported>Nyuhn: иллюстрирование