imported>Cherkash: /* Литература */

2025-09-17T12:23:53Z

Литература

Новая страница

{{не путать|Лемма Жордана|леммой Жордана}}
[[Файл:Jordan curve theorem.svg|thumb|Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета)|200px]]
[[Файл:Jordan-curve-(1).jpg|thumb|Не всегда интуитивно очевидно, находится ли точка во внутренней части кривой|200px]]
'''Теорема Жордана''' — классическая теорема [[топология|топологии]], гласящая, что замкнутая плоская [[Кривая#Определение в топологии|кривая]] без самопересечений делит [[евклидова плоскость|плоскость]] на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые [[Кривая Осгуда|кривые Осгуда]]. В случае кривых специального вида, таких как [[ломаная|ломаные]], утверждение доказывается относительно просто{{sfn|Болтянский|1982|loc=Теорема Жордана}}.

Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются [[кривая Жордана|жордановыми]].

== История ==
Теорема была сформулирована и доказана [[Жордан, Мари Энмон Камиль|Камилем Жорданом]] в [[1887 год]]у.

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано [[Веблен, Освальд|Освальдом Вебленом]] в [[1905 год]]у<ref>''Р. Курант, Г. Роббинс.'' [[Что такое математика?]] — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.</ref>. Однако {{не переведено 5|Хейлс, Томас|Томас Хейлс||Thomas Callister Hales}} пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных<ref>{{статья |автор= Hales, Thomas. |заглавие= Jordan's proof of the Jordan Curve theorem |ссылка= |язык= en |издание= Studies in Logic, Grammar and Rhetoric |год= 2007 |том= 10 |номер= 23 |страницы= 45—60}}</ref>.

== Формулировка ==
Любая замкнутая [[кривая Жордана]] <math>\gamma</math> на плоскости <math>\R^2</math> разбивает её на две [[Компонента связности|компоненты]] и является их общей границей<ref name=autogenerated1>{{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия|часть=Жордана теорема|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|язык=ru}}</ref>.

=== Замечания ===
Из двух таких компонент ровно одна является [[Ограниченность|ограниченной]]. Ограниченная компонента называется ''внутренней частью'' кривой <math>\gamma</math>, а неограниченная — ''внешней''.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах [[Порядок точки относительно кривой|порядка точки относительно кривой]]. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой <math>\gamma</math> равен <math>1</math> или <math>-1</math>, совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен <math>0</math>, совпадает с внешней часть.

Согласно теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой <math>\gamma</math> [[гомеоморфизм|гомеоморфна]] кругу<ref name=autogenerated1 />.

== О доказательствах ==
Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.
* Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил [[Филиппов, Алексей Фёдорович (учёный)|Алексей Фёдорович Филиппов]] в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил {{Не переведено 5|Вольперт, Айзик Исаакович|Айзик Исаакович Вольперт||Aizik Volpert}}<ref>{{статья|автор=[[Филиппов, Алексей Фёдорович (учёный)|А. Ф. Филиппов]]|заглавие=Элементарное доказательство теоремы Жордана|ссылка=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8482&option_lang=rus|язык=|издание=[[УМН]]|год=1950|том=5|номер=5(39)|страницы=173—176|doi=|issn=|archivedate=2013-12-24|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131224150905/http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8482&option_lang=rus}}</ref>.
* Очень короткое доказательство с использованием [[фундаментальная группа|фундаментальной группы]] дано Дойлем<ref>P. H. Doyle. «Plane separation». Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.</ref>.

== Вариации и обобщения ==
* Теорема Жордана обобщается по размерности:
: Любое <math>(n-1)</math>-мерное [[подмногообразие]] в <math>\mathbb R^n</math>, [[Гомеоморфизм|гомеоморфное]] сфере, разбивает пространство на две [[Связное пространство|связные компоненты]] и является их общей границей.
: При <math>n=3</math> это доказано [[Лебег, Анри Леон|Лебегом]], в общем случае — [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Брауэром]], отчего <math>n</math>-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.<ref name=autogenerated1 />
:* Более того, любое компактное связное <math>(n-1)</math>-мерное [[подмногообразие]] в <math>\mathbb R^n</math> разбивает пространство на две [[Связное пространство|связные компоненты]] и является их общей границей. Доказательство получается применением [[Двойственность Александера|двойственности Александера]].
* Теорема [[Шёнфлис, Артур Мориц|Шёнфлиса]] утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
** В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
** Пример [[Дикая сфера|дикой сферы]] показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

== См. также ==
* [[Озёра Вады]] — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
* [[Дикий узел]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Аносов Д. В.'' [http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d62a10b6-a780-11dc-945c-d34917fee0be/?fullView=1 Отображения окружности, векторные поля и их применения.] — {{М.}}: изд-во МЦНМО, 2003.
* ''[[Филиппов, Алексей Фёдорович (учёный)|Филиппов А. Ф.]]'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8482&option_lang=rus Элементарное доказательство теоремы Жордана.] — [[УМН]], 5:5(39) (1950), 173—176.
* ''Jordan С.'' Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
* ''Валле-Пуссен.'' Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
* ''Александров П. С.'' Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
* ''Дьедонне Ж.'' Основы современного анализа. — пер. с англ., {{М.}}: 1964.
* {{книга | автор = [[Болтянский, Владимир Георгиевич|Болтянский В. Г.]], [[Ефремович, Вадим Арсеньевич|Ефремович В. А.]] |
заглавие = Наглядная топология | место = М. | издательство = Наука | год = 1982 | страниц = 160 | ref = Болтянский}}
* ''Прасолов В. В.'' [http://matob.ru/files/mo_1999_2-3(9-10).pdf Теорема Жордана.] — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.

{{перевести|fr|Théorème de Jordan}}
{{Внешние ссылки}}
[[Категория:Топология]]
[[Категория:Теоремы топологии|Жордана]]

Теорема Жордана - История изменений

imported>Cherkash: /* Литература */