imported>Skazi: откат правок 178.173.110.27 (обс.) к версии Utricularia tubulata

2022-10-03T11:50:55Z

откат правок 178.173.110.27 (обс.) к версии Utricularia tubulata

Новая страница

[[Файл:Desargues theorem.png|right|300px]]
'''Теорема Дезарга''' является одной из основных теорем [[проективная геометрия|проективной геометрии]].

== Формулировки ==
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что
прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.

Обратное тоже верно:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.

=== Замечания ===
* Эти две теоремы являются [[Двойственность (проективная геометрия)|двойственными]] по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы<ref>То есть точку, в которой пересекаются три прямые, проходящие через пары соответственных вершин.</ref> тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы<ref>То есть прямую, на которой пересекаются прямые, содержащие соответственные стороны.</ref>».
* Теорема Дезарга выполняется не во всех [[проективная плоскость|проективных плоскостях]]. Плоскости, в которых теорема выполняется, называются дезарговыми. Например, [[вещественная проективная плоскость]] дезаргова, а [[плоскость Молтона]] — недезаргова.

== О доказательствах ==
* Одно из самых распространённых доказательств основывается на переходе в трёхмерное пространство — достаточно представить оба треугольника двумя сечениями трёхгранной пирамиды. Вся картина при этом рассматривается как проекция на плоскость пространственной структуры.
* Другое доказательство состоит в применении проективного преобразования, которое переводит две из пересечений продолжений сторон на идеальную прямую. После этого остаётся доказать параллельность третьей пары сторон. Последнее легко видеть из подобия треугольников.
* Ещё одно доказательство состоит в трёхкратном использовании [[Теорема Менелая|теоремы Менелая]].

== Вариации и обобщения ==
Понселе основал на теореме Дезарга свою изящную теорию [[Гомология (проективная геометрия)|гомологических фигур]]. Он называл два треугольника, о которых идет речь в теореме Дезарга, гомологическими, точку пересечения прямых, соединяющих попарно их вершины — центром гомологии, а прямую, на которой попарно пересекаются их стороны, — осью гомологии.

Понселе дал следующую теорему для геометрии в пространстве, как соответствующую теореме Дезарга на плоскости:
{{рамка}}
Если два тетраэдра имеют вершины, лежащие попарно на четырёх прямых, сходящихся в одной точке, то плоскости противоположных граней пересекаются по четырём прямым, находящимся в одной плоскости.
{{конец рамки}}
Эта теорема может быть обобщена ещё далее следующим образом:
{{рамка}}
Когда вершины двух тетраэдров помещены попарно на четырёх прямых, принадлежащих к одной группе образующих гиперболоида с одною полостью, то грани их пересекаются по четырём прямым, которые принадлежат к образующим другого гиперболоида.
{{конец рамки}}

=== Конфигурация Дезарга ===
Точки и прямые в теореме Дезарга образуют так называемую ''конфигурацию Дезарга''.
Здесь через каждую из 10 точек проходят 3 прямые и на каждой из 10 прямых лежат 3 точки. При этом любая из 10 точек может быть принята за «вершину трёхгранной пирамиды» («дезаргову точку») в приведённом выше доказательстве. Любая прямая может быть взята как «дезаргова прямая». Фиксирование дезарговой точки или дезарговой прямой полностью определяет всю конфигурацию.
[[Файл:Mutually-inscribed-pentagons.svg|thumb|Конфигурации Дезарга как пары взаимно вписанных пятиугольников: каждая вершина пятиугольника лежит на линии, проходящей через одну из сторон другого пятиугольника]]
[[Файл:Non-Desargues_configuration.svg|thumb|Конфигурация не является конфигурацией Дезарга]]

== Теорема Дезарга и аксиоматика проективной геометрии ==
При построении проективной геометрии плоскости без выхода в трёхмерное пространство, теорема Дезарга не выводится из основных аксиом [[проективная плоскость|проективной плоскости]]. Это означает, что возможно построить проективную плоскость, где теорема Дезарга неверна.
Например, [[плоскость Кэли]] — [[проективная плоскость]] над [[Алгебра Кэли|алгеброй Кэли]] <math>\mathbb{O}</math> не является дезарговой (см. также [[недезаргова геометрия]]).

При построении дезарговой проективной плоскости утверждение теоремы Дезарга добавляют к системе аксиом проективной плоскости в качестве ещё одной аксиомы.

== История ==
Теорема Дезарга была открыта французским геометром [[Дезарг, Жерар|Дезаргом]]: она, вместе с двумя другими, из которых одна есть её обратная, была помещена в конце сочинения ''Traité de perspective'', составленного Боссом согласно началам и методу Дезарга и появившегося в 1636 году. В этом сочинении было отмечено, что это утверждение очевидно, когда треугольники находятся в двух разных плоскостях; рассмотрение же случая, когда они лежат в одной плоскости, доставляет один из первых примеров употребления [[Теорема Менелая|теоремы Менелая]] у новых геометров. Известность теорема Дезарга получила в начале XIX века благодаря её употреблению в работах [[Брианшон]]а и [[Понселе, Жан-Виктор|Понселе]].

== См. также ==
* [[Теорема Паппа]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [[Шаль, Мишель]]. [[s:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Дезарг/ДО#28|Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов]]. Т. 1, § 28. М., 1883.
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|74-76|1}}

[[Категория:Проективная геометрия]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Дезарга]]
[[Категория:Теоремы проективной геометрии]]

Теорема Дезарга - История изменений

imported>Skazi: откат правок 178.173.110.27 (обс.) к версии Utricularia tubulata