imported>WinterheartBot: Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1

2025-12-09T21:08:35Z

Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1

Новая страница

[[Файл:Bruns-constant.svg|thumb|230px|Сходимость к константе Бруна.]]
'''Теорема Бруна''' утверждает, что сумма чисел, [[Обратное число|обратных]] [[Числа-близнецы|числам-близнецам]] (парам [[Простое число|простых чисел]], которые отличаются лишь на 2) [[Сходящийся ряд|сходится]] к конечному значению, известному как '''константа Бруна''', которая обозначается как ''B''2 ({{OEIS|id=A065421}}). Теорему Бруна доказал [[Брун, Вигго|Вигго Брун]] в 1919 году, и она имеет историческое значение для [[Теория решета|методов решета]].

== Асимптотические границы чисел-близнецов ==
Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности [[Плотность последовательности|плотности]] последовательности чисел-близнецов.
Пусть <math>\pi_2(x)</math> означает число [[Простое число|простых]] <math>p \leqslant x</math> чисел, для которых ''p'' + 2 тоже является простым (то есть <math>\pi_2(x)</math> является числом чисел-двойников, не превосходящих ''x''). Тогда для <math>x \geqslant 3</math> мы имеем

:<math> \pi_2(x) =O\left(\frac {x(\log\log x)^2}{(\log x)^2} \right).</math>
То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель.
Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют {{не переведено|маленькое множество|||Small set (combinatorics)}}. Сумма в явном виде

:<math> \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{p + 2}}} \right)} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots </math>

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна [[Иррациональное число|иррациональна]] только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

== Числовые оценки ==
При вычислении чисел-двойников вплоть до 1014 (и обнаружении по пути [[Ошибка Pentium FDIV|ошибки Pentium FDIV]]), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578<ref>{{cite web |url=http://www.trnicely.net/twins/twins2.html |last=Nicely |first=Thomas R. |title=Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant |access-date=2010-02-16 |work=Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory) |date=2010-01-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131208192242/http://trnicely.net/twins/twins2.html |archive-date=2013-12-08 |url-status=dead }}</ref>. Найсли расширил вычисления до 1,6{{e|15}} к 18 января 2010 года, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 году Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 1016 и получили оценку<ref>{{cite web | url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.464.1118&rep=rep1&type=pdf | last1=Sebah | first1=Pascal | last2=Gourdon | first2=Xavier | title=Introduction to twin primes and Brun’s constant computation | access-date=2018-01-05 | archive-date=2018-01-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180106063856/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.464.1118&rep=rep1&type=pdf | url-status=live }}</ref>

: ''B''2 ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 1016. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что ''B''2 < 2,1754 в предположении, что верна [[Обобщённые гипотезы Римана# Расширенная гипотеза Римана (РГР)|расширенная гипотеза Римана]]<ref>{{cite web |url=http://libarchive.dartmouth.edu/cdm/ref/collection/dcdis/id/36604 |last=Klyve |first=Dominic |title=Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant |access-date=2015-05-13 |archive-date=2015-05-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150518092419/http://libarchive.dartmouth.edu/cdm/ref/collection/dcdis/id/36604 |url-status=live }}</ref>, и что ''B''2 < 2,347 безотносительно верности расширенной гипотезы Римана<ref>{{cite web |url=https://collections.dartmouth.edu/archive/object/dcdis/dcdis-klyve2007?ctx=dcdis#?length=12&start=0&view=list&rdat_only_u=no&rdat_u=yes&col=dcdis&oc_0=main-title&od_0=a&sv=Brun%27s+constant |last=Klyve |first=Dominic |title=Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant |access-date=2021-05-24}}</ref>.

Существует также '''константа Бруна для квадруплетов близнецов'''. {{не переведено|Квадруплет простых чисел|||prime quadruplet}} — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая ''B''4, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

:<math>B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots</math>

И эта сумма равна

:''B''4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли)<ref>{{cite web |url=http://www.trnicely.net/quads/quads.html |last=Nicely |first=Thomas R. |title=Enumeration to 1.6{{e|15}} of the prime quadruplets |access-date=2009-03-09 |work=Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory) |date=2008-08-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081230072124/http://www.trnicely.net/quads/quads.html |archive-date=2008-12-30 |url-status=dead }}</ref>.

Эту константу не следует путать с '''константой Бруна для {{не переведено|Родственные простые числа|родственных простых чисел||cousin prime}}''', пар простых чисел вида (''p'', ''p'' + 4), поскольку эта константа тоже записывается как ''B''4. 

== Дальнейшие результаты ==
Пусть <math>C_2=0,6601\ldots</math> ({{OEIS|A005597}}) — [[Числа-близнецы|константа простых-близнецов]]. Есть гипотеза, что
:<math>\pi_2(x)\sim2C_2\frac{x}{(\log x)^2}.</math>
В частности,
:<math>\pi_2(x)<(2C_2+\varepsilon)\frac{x}{(\log x)^2}</math>
для любого <math>\varepsilon>0</math> и всех достаточно больших ''x''.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого ''x'',
:<math> \pi_2(x) < 4,5 \frac {x}{(\log x)^2}</math>,
где 4,5 соответствует случаю <math>\varepsilon\approx3,18</math> выше.

=== В популярной культуре ===
Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе [[Nortel Networks|Nortel]]. Заявка была опубликована компанией [[Google (компания)|Google]] и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах<ref>{{cite web | url=https://www.reuters.com/article/2011/07/02/us-dealtalk-nortel-google-idUSTRE76104L20110702 | title=Dealtalk: Google bid "pi" for Nortel patents and lost | publisher=Reuters | date=2011-07-01 | access-date=2011-07-06 | author=Damouni, Nadia | archive-date=2011-07-03 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110703071724/http://www.reuters.com/article/2011/07/02/us-dealtalk-nortel-google-idUSTRE76104L20110702 | url-status=dead }}</ref>.

== См. также ==
* [[Ряд обратных простых чисел]]
* [[Константа Майсселя — Мертенса]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{статья
|автор=[[Брун, Вигго|Viggo Brun]]
|ref=Brun
|заглавие=Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare
|издание=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab
|том=B34
|выпуск=8
|год=1915
}}
* {{статья
|language=Fr
|автор=[[Брун, Вигго|Viggo Brun]]
|ref=Brun
|заглавие=La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie
|ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k486270d
|издание=Bulletin des Sciences Mathématiques
|год=1919
|том=43
|страницы=100–104, 124–128
}}
* {{книга
|автор=Alina Carmen Cojocaru, M. Ram Murty
|ref=Cojocaru, Murty
|заглавие=An introduction to sieve methods and their applications
|серия=London Mathematical Society Student Texts
|том=66
|издательство=[[Cambridge University Press]]
|isbn=0-521-61275-6
|страницы=73–74
|год=2005
}}
* {{книга
| first=[[Ландау, Эдмунд Георг Герман|Landau E.]]
|last=Landau
|заглавие=Elementare Zahlentheorie
|место=Leipzig, Germany
|издательство=Hirzel
|год=1927
}} Перепечатано в Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.
* {{книга
|ref=LeVeque
|автор=William J. LeVeque
|заглавие=Fundamentals of Number Theory
|ссылка=https://archive.org/details/fundamentalsofnu0000leve
|место=New York City
|издательство=Dover Publishing
|год=1996
|страницы=[https://archive.org/details/fundamentalsofnu0000leve/page/1 1]–288
|isbn=0-486-68906-9
}} Содержит более современное доказательство.
* {{статья
|автор=Wu J.
|ref= Wu
|заглавие=Chen's double sieve, Goldbach's conjecture and the twin prime problem
|издание=Acta Arithmetica
|том=114
|страницы=215–273
|год=2004
|origyear=24 Sep 2007
|выпуск=3
|doi= 10.4064/aa114-3-2
|arxiv= 0705.1652
}}
* [http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.]
{{refend}}

==Ссылки==
* {{mathworld|urlname=BrunsConstant|title=Brun's Constant}}
* {{mathworld|urlname=BrunsTheorem|title=Brun's Theorem}}
* {{PlanetMath|urlname=BrunsConstant|title=Brun's constant}}
* Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.pdf Introduction to twin primes and Brun's constant computation], 2002. A modern detailed examination.
* [https://web.archive.org/web/20110109082911/http://www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/ Wolf's article on Brun-type sums]

[[Категория:Теоремы о простых числах]]
[[Категория:Теория решета]]
{{rq|
{{плохой перевод|язык=en|оригинал=Brun's theorem|дата=2018-05-09}}
{{стиль статьи|дата=2018-05-09}}
}}

Теорема Бруна - История изменений

imported>WinterheartBot: Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1