imported>РобоСтася: ПРО:CW → Выпрямление ссылок на Википедию. Тест

2026-02-26T20:17:08Z

ПРО:CW → Выпрямление ссылок на Википедию. Тест

Новая страница

'''Теорема Бойяи — Гервина''' утверждает, что любые два равновеликих многоугольника [[равносоставленность|равносоставлены]].
[[File:Triangledissection.svg|thumb|right|Треугольник и квадрат, составленные из эквивалентного множества многоугольников]]

==Формулировка==

Пусть <math>P</math> и <math>Q</math> — два [[многоугольник]]а с одинаковой [[площадь (геометрия)|площадью]]. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники <math>A_1,A_2,\dots,A_n</math> и <math>B_1,B_2,\dots,B_n</math>, так что для любого <math>i\in \{1,\dots,n\}</math> многоугольник <math>A_i</math> [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтен]] <math>B_i</math>.

== Схема доказательства ==

Главным фактом, используемым в доказательстве, является [[транзитивность]] равносоставленности, то есть утверждение о том, что если многоугольник <math>P</math> равносоставлен <math>Q</math> и многоугольник <math>Q</math> равносоставлен <math>R</math>, то <math>P</math> равносоставлен <math>R</math>. Это утверждение очевидно, если рассмотреть разбиение многоугольника <math>Q</math> одновременно по всей совокупности разделяющих линий, определяющих его разбиение при обоих переходах <math>P \to Q</math> и <math>Q \to R</math>.

Пользуясь этой леммой, теорему можно свести к более простой:
{{рамка}}
Любой многоугольник равносоставлен [[Прямоугольник|прямоугольнику]] той же площади с единичной высотой.
{{конец рамки}}
Последнее утверждение доказывается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых, рассматривается [[Триангуляция (геометрия)|триангуляция]] многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех [[Параллелограмм|параллелограммов]] с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.

== Замечания ==

* Понятие равносоставленности в этой теореме отличается от равносоставленности в [[Парадокс удвоения шара|парадоксе удвоения шара]], где позволяется «разрезать» на произвольные непересекающиеся подмножества.
* Аналогичная теорема в трёхмерном [[Евклидово пространство|Евклидовом пространстве]] [[Инвариант Дена|уже не верна]], этот вопрос является [[Третья проблема Гильберта|третьей]] [[Проблемы Гильберта|проблемой Гильберта]].

== История ==

Теорема о равновеликих треугольниках, которая позже стала известна как ''теорема Бойяи — Гервина'', была доказана в 1807 году [[Уоллес, Уильям (математик)|Уоллесом]].<ref>Ian Stewart: ''From Here to Infinity''. Oxford University Press 1996 (3. edition), ISBN 978-0-19-283202-3, p. 169 ({{Google books|mbSb1FFx20QC|restricted online copy|page=169}})</ref>.
Теорема названа в честь [[Бойяи, Фаркаш|Фаркаша Бояи]] и Пола Гервина.
Называется 1833-й год <ref>1833 in science // https://en.wikipedia.org/wiki/1833_in_science </ref>, как вероятный год, когда Пол Гервин независимо от Бояи и Уильяма Уоллеса доказал выше указанную теорему.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
*{{книга|автор=В. Г. Болтянский, А. Н. Савин|заглавие=Равновеликие и равносоставленные фигуры|год=1956|серия=Популярные лекции по математике, Выпуск 22|ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a22.htm|место=|издательство=Гостехиздат|тираж=|страниц=64|isbn=}}
*{{книга|автор=В. Г. Болтянский|заглавие=Третья проблема Гильберта|год=1977|серия=|ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/3problem.htm|место=М.|издательство=Наука|тираж=|страниц=208|isbn=}}

==Ссылки==
{{Многоугольники}}

[[Категория:Комбинаторная геометрия]]
[[Категория:Теоремы евклидовой геометрии|Бойяи — Гервина]]
[[Категория:Многоугольники]]
[[Категория:Равносоставленность]]
[[Категория:Именные законы и правила|Бойяи — Гервина]]

Теорема Бойяи — Гервина - История изменений

imported>РобоСтася: ПРО:CW → Выпрямление ссылок на Википедию. Тест