imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:41:35Z

Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

{{другое значение|См. другое значение: [[Теорема Безу (алгебраическая геометрия)]] о числе общих точек [[Алгебраическая кривая|алгебраических кривых]].}}
{{не путать|Соотношение Безу|Соотношением Безу (тождеством Безу)|выражением для [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]]}}
'''Теорема [[Безу, Этьенн|Безу]]''' утверждает, что остаток от деления [[многочлен]]а <math>P(x)</math> на [[двучлен]] <math>(x-a)</math> равен <math>P(a)</math>.

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором [[Коммутативное кольцо|коммутативном кольце]] с единицей (например, в [[Поле (алгебра)|поле]] [[вещественное число|вещественных]] или [[комплексное число|комплексных чисел]]).

== Доказательство ==
[[Деление с остатком|Поделим с остатком]] многочлен <math>P(x)</math> на двучлен <math>x-a</math>:
: <math>P(x) = (x - a) Q(x) + R(x),</math>
где <math>R(x)</math> — остаток. Так как <math>\deg R(x) < \deg (x - a) = 1</math>, то <math>R(x)</math> — многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за <math>r</math>. Подставляя <math>x = a</math>, поскольку <math>(a - a) Q(a) = 0</math>, имеем <math>P(a) = R(x) = r</math>.

== Следствия ==
* Число <math>a</math> является [[Корень многочлена|корнем многочлена]] <math>P(x)</math> тогда и только тогда, когда <math>P(x)</math> делится без остатка на двучлен <math>x-a</math> (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена <math>P(x)</math> тождественно множеству корней соответствующего уравнения <math>P(x)=0</math>).
* Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
* Пусть <math>a</math> — целый корень [[приведённый многочлен|приведённого многочлена]] <math>A(x)</math> с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого <math>k</math> число <math>A(k)</math> кратно <math>a-k</math>.

== Приложения ==
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

== См. также ==
* [[Основная теорема алгебры]]

== Литература ==
* ''Винберг Э. Б.'' Курс алгебры, — {{М.}}: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
* [http://mizar.org/fm/2004-12/pdf12-1/uproots.pdf ''Piotr Rudnicki'' (2004). "Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.]

{{rq|
{{нет источников|дата=2011-11-27}}
{{нет иллюстрации|дата=2011-11-27}}
}}

[[Категория:Многочлены]]
[[Категория:Теоремы алгебры|Безу]]

Теорема Безу - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО