92.36.31.84: Добавлена уместная ссылка

2025-12-29T08:47:30Z

Добавлена уместная ссылка

Новая страница

{{другие значения термина|кривизна|Кривизна (значения)}}
'''Риманов тензор кривизны''' (иногда называемый '''[[тензор]]ом кривизны Римана — Кристоффеля''') представляет собой стандартный способ выражения [[Кривизна римановых многообразий|кривизны римановых многообразий]], а в общем случае — произвольных [[многообразие|многообразий]] [[Аффинная связность|аффинной связности]], без [[кручение связности|кручения]] или с кручением.

Назван в честь [[Риман, Бернхард|Бернхарда Римана]].

== Определение ==
Тензор кривизны <math>R(u,\;v)</math> определяется как [[линейный оператор|линейное преобразование]] [[касательное пространство|касательного пространства]] в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение [[Вектор (алгебра)|вектора]], [[Параллельное перенесение|параллельно]] перенесённого по бесконечно малому замкнутому [[параллелограмм]]у, натянутому на векторы <math>u,\;v</math>.

Тензор кривизны выражается через [[связность Леви-Чивиты]], или в общем случае [[аффинная связность|аффинную]] связность <math>\nabla</math> (которая также называется [[ковариантная производная|ковариантной производной]]) следующим образом:
: <math>R(u,\;v)w=\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w-\nabla_{[u,\;v]} w,</math>
где <math>[u,\;v]</math> — [[алгебра Ли|скобка Ли]].

Если векторные поля задаются [[Частная производная|дифференцированием по координатам]], <math>u=\partial/\partial x_i</math> и <math>v=\partial/\partial x_j</math>, и поэтому коммутируют (<math>[u,\;v]=0</math>), формула принимает упрощённый вид:
: <math>R(u,\;v)w=\nabla_u\nabla_v w-\nabla_v\nabla_u w,</math>
таким образом, тензор кривизны измеряет ''некоммутативность ковариантных производных''.

'''Примечание.''' Некоторые авторы определяют тензор кривизны с противоположным знаком

== Связанные определения ==
* Линейное преобразование <math>w\mapsto R(u,\;v)w</math> называется '''преобразованием кривизны'''.
* Если <math>u</math> и <math>v</math> — два перпендикулярных единичных вектора в точке <math>p</math>, то выражение <math>\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle</math> зависит только от плоскости <math>\sigma</math> в <math>T_p</math>, которая натягивается на <math>u</math> и <math>v</math>.
** Плоскость <math>\sigma</math> называется '''секционным направлением'''.
** Величина <math>\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle</math> называется '''секционной кривизной''' в направлении <math>\sigma</math>, и обычно обозначается <math>K_\sigma</math>.

== Компоненты тензора кривизны ==
В системе координат <math>x^\mu</math> компоненты тензора кривизны определяются так:
: <math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=dx^\rho(R(\partial_{\mu},\;\partial_{\nu})\partial_{\sigma}),</math>
где <math>\partial_{\mu}=\partial/\partial x^{\mu}</math> — векторное поле, в каждой точке касательное к координатной линии <math>x^\mu</math>. В терминах [[символы Кристоффеля|символов Кристоффеля]]:
: <math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.</math>
В двумерном пространстве нетривиальной компонентой является только [[гауссова кривизна]].

== Симметрии ==
Тензор кривизны Римана обладает следующими свойствами симметрии:
: <math>R(u,\;v)=-R(v,\;u);</math>
: <math>\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle;</math>
: <math>R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.</math>
Последнее тождество было открыто [[Риччи-Курбастро, Грегорио|Риччи]], хотя называется ''первым тождеством Бьянки'' или ''[[Алгебраическое тождество Бьянки|алгебраическим тождеством Бьянки]]''.

Эти три тождества задают полный набор симметрий тензора кривизны, то есть для всякого тензора, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти риманово многообразие, кривизна которого описывается этим тензором. Простой комбинаторный подсчёт показывает, что тензор кривизны имеет <math>n^2(n^2-1)/12</math> независимых компонент.

Ещё одно полезное соотношение следует из этих трех тождеств:
: <math>\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle.</math>

'''Тождество Бьянки''' (ещё называется ''вторым тождеством Бьянки'' или ''[[Дифференциальное тождество Бьянки|дифференциальным тождеством Бьянки]]'') привлекает ковариантные производные:
: <math>\nabla_uR(v,\;w)+\nabla_vR(w,\;u)+\nabla_wR(u,\;v)=0.</math>

В заданной [[система координат|системе координат]] в [[окрестность (топология)|окрестности]] некоторой точки многообразия приведённые выше тождества в компонентах тензора кривизны могут быть записаны следующим образом. Круглые скобки обозначают [[Симметризация и антисимметризация тензора|симметризацию]]; индексы после точки-запятой означают ковариантную производную.
: <math>R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc};</math>
: <math>R_{abcd}=R_{cdab};</math>
: <math>R_{a(bcd)}=R_{abcd} + R_{acdb} + R_{adbc}=0</math> (первое тождество Бьянки);
: <math>R_{ab(cd;e)}=R_{abcd;e} + R_{abde;c} + R_{abec;d}=0</math> (второе тождество Бьянки).

== См. также ==
* [[Алгебраическое тождество Бьянки]]
* [[Дифференциальное тождество Бьянки]]
* [[Параллельное перенесение]]
* [[Метрический тензор]]
* [[Тензор Риччи]]
* [[Кривизна римановых многообразий]]
* [[Ковариантная производная]]
* [[Символы Кристоффеля]]
* [[Преобразование кривизны]]

== Литература ==
* {{книга|автор=Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А.|заглавие=Введение в риманову геометрию|год=1994|серия=|ссылка=|место=Санкт-Петербург|издательство=Наука|тираж=|страниц=|isbn=5-02-024606-9}}

[[Категория:Тензорное исчисление]]
[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]
[[Категория:Тензоры в ОТО]]

Тензор кривизны - История изменений

92.36.31.84: Добавлена уместная ссылка