imported>Dima st bk: откат правок 5.28.181.55 (обс.) к версии 85.249.23.103

2024-03-06T06:48:54Z

откат правок 5.28.181.55 (обс.) к версии 85.249.23.103

Новая страница

[[Файл:Стерадиан произвольный.jpg|мини|251x251пкс|Произвольный телесный угол]]
'''Теле́сный у́гол''' — часть пространства, которая является объединением всех [[Луч (планиметрия)|лучей]], выходящих из данной точки (''вершины'' угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, ''стягивающей'' данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и [[Многогранный угол|многогранные углы]]. Границей телесного угла является некоторая [[коническая поверхность]]. Обозначается телесный угол обычно буквой {{math|Ω}}.

Телесный угол измеряется отношением площади той части [[сфера (поверхность)|сферы]] с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату [[радиус]]а сферы:
:: <math>\Omega\,=\,{S\over R^2}.</math>
[[Файл:1 стерадиан.jpg|мини|251x251пкс|Телесный угол равный одному стерадиану]]
Двойственный телесный угол к данному телесному углу {{math|Ω}} определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла {{math|Ω}} неострый угол.

== Единицы телесного угла ==
Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе [[СИ]] является [[стерадиан]], равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса {{math|''r''}} поверхность с площадью {{math|''r''}}2. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла. Полная сфера образует телесный угол, равный {{nobr|4{{math|π}} стерадиан}} (''полный телесный угол''), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Полный телесный угол иногда называют '''спат''' ({{lang-en|spat}})<ref>{{книга|автор=Грабовски Б.|часть=|заглавие=Справочник по электронике|оригинал= |ссылка=|издание=2-е изд., испр. |ответственный=Пер. с фр. А. В. Хаванов|место=М.|издательство=ДМК Пресс|год=2009|том=|страницы=18|страниц=416|isbn=|тираж=|язык=ru}}</ref>.

Телесный угол имеет нулевую [[Размерность физической величины|физическую размерность]].

''Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.''
{| class="standard" border=1
|<center><math>\Omega</math></center>
!Стерадиан (ср)
!Кв. градус ({{sqdeg}})
!Кв. минута ({{sqarcmin}})
!Кв. секунда ({{sqarcsec}})
!Полный угол (спат)
|-
!1 стерадиан =
|1
|(180/{{math|π}})² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов
|(180×60/{{math|π}})² ≈ ≈ 1,1818103{{e|7}} кв. минут
|(180×60×60/{{math|π}})² ≈ ≈ 4,254517{{e|10}} кв. секунд
|1/4{{math|π}} ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
|-
!1 кв. градус =
|({{math|π}}/180)² ≈ ≈ 3,0461742{{e|−4}} стерадиан
|1
|60² = = 3600 кв. минут
|(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд
|π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068{{e|−5}} полного угла
|-
!1 кв. минута =
|({{math|π}}/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595{{e|−8}} стерадиан
|1/60² ≈ ≈ 2,7777778{{e|−4}} кв. градусов
|1
|60² = = 3600 кв. секунд
|{{math|π}}/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335{{e|−9}} полного угла
|-
!1 кв. секунда =
|({{math|π}}/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305{{e|−11}} стерадиан
|1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938{{e|−8}} кв. градусов
|1/60² ≈ ≈ 2,7777778{{e|−4}} кв. минут
|1
|{{math|π}}/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315{{e|−12}} полного угла
|-
!Полный угол =
|4{{math|π}} ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан
|(2×180)²/{{math|π}} ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов
|(2×180×60)²/{{math|π}} ≈ ≈ 1,48511066{{e|8}} кв. минут
|(2×180×60×60)²/{{math|π}} ≈ ≈ 5,34638378{{e|11}} кв. секунд
|1
|}

== Вычисление телесных углов ==
Для произвольной стягивающей поверхности {{math|''S''}} телесный угол {{math|Ω}}, под которым она видна из начала координат, равен

: <math>\Omega = \int\limits_S d\Omega
= \iint\limits_S \sin\vartheta \, d\varphi \, d\vartheta
= \int\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},</math>

где <math>r, \vartheta, \varphi</math> — [[сферические координаты]] элемента поверхности <math>dS,</math> <math>\mathbf{r}</math> — его [[радиус-вектор]], <math>\mathbf{n}</math> — единичный вектор, нормальный к <math>dS.</math>

== Свойства телесных углов ==
# Полный телесный угол (полная сфера) равен 4{{math|π}} стерадиан.
# Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого [[многогранник]]а, равна полному углу.

== Величины некоторых телесных углов ==
* Треугольник с координатами вершин <math>\mathbf{r}_1</math>, <math>\mathbf{r}_2</math>, <math>\mathbf{r}_3</math> виден из начала координат под телесным углом

:: <math>\Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{\left\vert(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)\right\vert}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},</math>

: где <math>(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)</math> — [[смешанное произведение]] данных векторов, <math>(\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j)</math> — [[скалярное произведение|скалярные произведения]] соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными [[многоугольник]]ами с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

* Телесный угол при вершине прямого кругового [[конус]]а с углом раствора {{math|α}} равен <math>\Omega = 2\pi \left(1 - \cos \frac{\alpha}{2}\right).</math> Если известны радиус основания <math>R</math> и высота <math>H</math> конуса, то <math>\Omega = 2\pi \left(1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}\right).</math> Когда угол раствора конуса мал, <math>\Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4}</math> (угол <math>\alpha</math> выражен в радианах), или <math>\Omega \approx 0{,}000239 \alpha^2</math> (угол <math>\alpha</math> выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны [[Луна]] и [[Солнце]] (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6{{e|−5}} стерадиан, или ≈0,0005 % площади [[небесная сфера|небесной сферы]] (то есть полного телесного угла).
* Телесный угол [[Двугранный угол|двугранного угла]] в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
* Телесный угол [[Трёхгранный угол|трёхгранного угла]] выражается по [[Формула Герона|теореме Люилье]] через его плоские углы <math>\theta_a, \theta_b, \theta_c</math> при вершине, как:
:: <math>\Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} ,</math> где <math>\theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2}</math> — полупериметр.
: Через двугранные углы <math>\alpha, \beta, \gamma</math> телесный угол выражается как:
:: <math>\Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi.</math>

* Телесный угол при вершине [[куб]]а (или любого другого [[прямоугольный параллелепипед|прямоугольного параллелепипеда]]) равен <math>\frac{1}{8}</math> полного телесного угла, или <math>\frac{\pi}{2}</math> стерадиан.
* Телесный угол, под которым видна грань [[правильный многогранник|правильного {{math|''N''}}-гранника]] из его центра, равна <math>\frac{1}{N}</math> полного телесного угла, или <math>\frac{4\pi}{N}</math> стерадиан.
* [[Файл:Oblique circular cone.svg|thumb|Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса]] Телесный угол, под которым виден круг радиусом {{math|''R''}} из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных [[Эллиптический интеграл|эллиптических интегралов]] 1-го и 3-го рода<ref>{{статья
|автор={{nobr|Paxton F.}}
|заглавие=Solid Angle Calculation for a Circular Disk
|ссылка=http://www.umich.edu/~ners312/CourseLibrary/SolidAngleOfADiskOffAxis.pdf
|язык=en
|издание=Review of Scientific Instruments
|год=1959
|месяц=4
|том=30
|номер=4
|страницы=254—258
|doi=10.1063/1.1716590
|bibcode=1959RScI...30..254P
|archivedate=2017-08-07
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170807221237/http://www.umich.edu/~ners312/CourseLibrary/SolidAngleOfADiskOffAxis.pdf
}}</ref>:
:: <math>\Omega = 2\pi + \frac{2H}{L} \left( \frac{r - R}{r + R}\,\Pi(\alpha^2,k) - K(k) \right)</math> при <math>r \le R,</math>
:: <math>\Omega = \frac{2H}{L} \left( \frac{r - R}{r + R}\,\Pi(\alpha^2,k) - K(k) \right)</math> при <math>r > R,</math>

:: где <math> K(k)</math> и <math>\Pi(\alpha^2,k)</math> — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра [[эллиптические интегралы#Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода|1-го]] и [[эллиптические интегралы#Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода|3-го]] рода, соответственно;
::: <math>r</math> — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;
::: <math>H</math> — высота конуса;
::: <math>L = \sqrt{H^2 + (r + R)^2}</math> — длина максимальной образующей конуса;
::: <math>k = \frac{\sqrt{4r R}}{L};</math>
::: <math>\alpha = \frac{\sqrt{4r R}}{r+R}.</math>

== Литература ==
* ''Hopf H.'' [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Other/hopf-samelson.pdf Selected Chapters of Geometry] // ETH Zürich lecture, pp. 1—2, 1940.
* {{cite doi|10.1109/TBME.1983.325207}}
* ''Weisstein E. W.'' [http://mathworld.wolfram.com/SolidAngle.html Solid Angle]. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
* {{cite doi|10.1016/0029-554X(71)90155-8}}

== См. также ==
{{Навигация}}
* [[Угол]]
* [[Двугранный угол]]
* [[Трёхгранный угол]]
* [[Многогранный угол]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Геометрические фигуры]]
[[Категория:Физические величины]]
[[Категория:Стереометрические углы]]

Телесный угол - История изменений

imported>Dima st bk: откат правок 5.28.181.55 (обс.) к версии 85.249.23.103