84.15.218.252: /* Преамбула */

2025-10-08T10:27:44Z

Преамбула

Новая страница

[[Файл:Surjection.svg|thumb|Сюръективная функция]]
'''Сюръе́кция''' или '''сюръекти́вное отображе́ние''' (от {{lang-fr|sur}} «на, над» + {{lang-la|jacio}} «бросаю») — [[соответствие]] (отображение) между двумя [[Множество|множествами]], [[Множество|множества]] <math>X</math> на множество <math>Y</math> <math>(f\colon X\to Y)</math>, при котором каждый [[элемент множества]] <math>Y</math> является [[Образ (математика)|образом]] хотя бы одного элемента множества <math>X</math>, то есть <math>\forall y\in Y\;\exists x\in X:y=f(x)</math>; иными словами — Отображение, принимающее все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение <math>f\colon X \to Y</math> ''отображает <math>X</math> '''на''' <math>Y</math>'' ([[Инъекция (математика)|инъективное отображение]] в общем случае ''отображает <math>X</math> '''в''' <math>Y</math>'').

Отображение <math>f\colon X\to Y</math> сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества <math>X</math> при отображении <math>f</math> совпадает с <math>Y</math>: <math>f(X) = Y</math>. Также сюръективность функции <math>f</math> эквивалентна существованию [[Обратная функция#Связанные определения|правого обратного отображения]] к <math>f</math>.

Строго говоря, понятие сюръекции <math>f\colon X\to Y</math> привязано к множеству <math>Y</math>: корректно говорить вместо обычно допускаемой вольности речи «сюръекция» точное «сюръекция на <math>Y</math>». Фактически понятно, что каждое отображение является сюръекцией на свой [[Функция (математика)#Образ и прообраз (при отображении), значение в точке|образ]]: если <math>Z=\{y:f(x)=y\}</math>, то <math>f\colon X\to Y</math> — сюръекция на <math>Z</math>, поскольку формально также <math>f\colon X\to Z</math> по определению отображения.

Понятие сюръекции (наряду с [[Инъекция (математика)|инъекцией]] и [[Биекция|биекцией]]) введено в обиход в трудах [[Бурбаки, Николя|Бурбаки]] и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.

==Примеры==
* <math>f\colon \R\to[-1;\;1],\;f(x)=\sin x</math> — сюръективно.
* <math>f\colon \R\to\R_+,\;f(x)=x^2</math> — сюръективно.
* <math>f\colon \R\to\R,\;f(x)=x^2</math> — не является сюръективным (например, не существует такого <math>x\in\R</math>, что <math>f(x)=-9</math>).

==Применение==
* В [[Топология|топологии]] важное понятие [[Расслоение|расслоения]] определяется как произвольное [[Непрерывное отображение|непрерывное]] сюръективное отображение [[Топологическое пространство|топологических пространств]] (расслоённого пространства в базу расслоения).
* Организация связи «многие к одному» между [[Отношение (реляционная модель)|таблицами]] в сущностях [[Реляционная модель данных|реляционной модели данных]] может быть рассмотрена как сюръективная функция.

==Обобщения==
* В [[Теория категорий|теории категории]] понятие сюръекции обобщено в понятии [[эпиморфизм]]а, притом в некоторых категориях эти понятия совпадают.

== Литература ==
* {{книга
|ссылка = ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logic/sets/part1pdf.zip
|автор = [[Верещагин, Николай Константинович|Н. К. Верещагин]], [[Шень, Александр Ханиевич|А. Шень]]
|заглавие = Лекции по математической логике и теории алгоритмов
|часть = Начала теории множеств
}}{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга
|автор = Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.
|заглавие = Математическая логика: Учебное пособие
|издание = 3-е, стереотип. изд
|место = СПб.
|издательство = Лань
|год = 2004
|страниц = 336
}}

[[Категория:Типы функций]]
[[Категория:Общие понятия о функциях]]

Сюръекция - История изменений

84.15.218.252: /* Преамбула */