imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

2026-03-25T07:39:53Z

уборка лишних параметров шаблона {{переход}}

Новая страница

{{не путать|Перечислимое множество|перечислимым множеством}}
'''Счётное множество''' — [[бесконечное множество]], элементы которого возможно пронумеровать всеми [[натуральное число|натуральными числами]].
Более формально: [[множество]] <math>X</math> является счётным, если существует [[биекция]] со множеством натуральных чисел: <math>X\leftrightarrow \N</math>, другими словами, счётное множество — это множество, [[равномощность|равномощное]] множеству натуральных чисел. В [[Иерархия алефов|иерархии алефов]] [[Мощность множества|мощность]] счётного множества обозначается <math>\alef_0</math> («алеф-нуль»).

Счётное множество является «простейшим» бесконечным множеством в следующем смысле: в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество — если выбирать элементы из бесконечного множества и сопоставлять им числа <math>1,\,2,\,3,\,\ldots</math>, то для всякого натурального <math>n</math> в нём найдётся элемент для сопоставления с числом <math>n+1</math>, откуда по [[Принцип индукции|принципу индукции]] выбрать подмножество, взаимно-однозначно соответствующее <math>\N</math>.

{{Якорь|Не более, чем счётное множество|Разве что счётное множество}}Иногда к счётным множествам относят также и конечные множества; в русской математической литературе такие множества чаще называют ''не более чем счётными'' или ''разве что счётными''<ref>{{книга | автор = [[Бурбаки]] | заглавие = Начала математики. Первая часть. Основные структуры анализа. Книга первая. Теория множеств | место = М. | издательство = Мир | год = 1965 | страниц = 456 | страницы = 394}}</ref>. Всякое подмножество счётного множества конечно или счётно — не более чем счётно.

Счётными являются множества [[Натуральные числа|натуральных чисел <math>\N</math>]], [[Целые числа|целых чисел <math>\Z</math>]], [[Рациональные числа|рациональных чисел <math>\Q</math>]], [[Алгебраические числа|алгебраических чисел <math>\mathbb A</math>]]. Счётными являются объекты, получающиеся в результате [[Рекурсивная функция|рекурсивных процедур]], в частности, таковы [[вычислимые числа]], [[арифметические числа]] (как следствие, счётно и [[кольцо периодов]], поскольку каждый период является [[Вычислимая функция|вычислимым]]). Счётны множество всех конечных слов над счётным [[Алфавит (формальный язык)|алфавитом]] и множество всех слов над конечным алфавитом. Любые объекты, которые можно определить со взаимно-однозначным сопоставлением со счётным множеством — счётны, например: любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на вещественной оси; множество всех [[Прямая|прямых]] на [[Плоскость|плоскости]], каждая из которых содержит хотя бы две [[Точка (геометрия)|точки]] с [[Рациональное число|рациональными]] [[координата]]ми; любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны. Обширность класса счётных множеств — следствие свойств в условиях бесконечности{{Переход|Свойства}}, позволяющих установить взаимно-однозначное соответствие, которое было бы невозможно в конечных случаях; одной из известных демонстраций таких возможностей является [[парадокс «Гранд-отель»]].

[[Несчётное множество]] — такое [[бесконечное множество]], которое не является счётным, таковы, в частности, множества [[Вещественное число|вещественных чисел <math>\R</math>]], [[комплексное число|комплексных чисел <math>\Complex</math>]], [[кватернион]]ов <math>\mathbb H</math>, [[числа Кэли|чисел Кэли <math>\mathbb O</math>]]. Таким образом, любое множество можно назвать либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

== Свойства ==
Не более, чем счётное [[Объединение множеств|объединение]] не более чем счётных множеств является не более чем счётным множеством; в случае произвольного бесконечного объединения указанное правило неприменимо. [[Декартово произведение]] конечного числа не более чем счётных множеств — не более чем счётно. Если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество, равномощное с исходным{{sfn|Брудно|с=14|1971}}.

Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно. Множество конечных подмножеств из <math>n</math> элементов счётно, так как оно подмножество декартова произведения <math>n</math> исходных множеств. Множество же всех конечных подмножеств является объединением конечных подмножеств с определённым числом элементов (коих счётное число), то есть счётно.

Однако [[множество всех подмножеств]] счётного множества [[Континуум (теория множеств)|континуально]], и счётным не является.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Брудно, Александр Львович|Брудно А. Л.]] | заглавие = Теория функций действительного переменного | место = М. | издательство = Наука | год = 1971 | страниц = 119 | ref = Брудно}}
* {{МатЭнц|5|с=314|заглавие=Счётное множество|автор=М. И. Войцеховский|eom=Countable_set}}

{{Теория множеств}}

[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Мощность множеств]]
[[Категория:Бесконечность]]

Счётное множество - История изменений

imported>Well, Well, Bot!: уборка лишних параметров шаблона {{переход}}