imported>Артём4637: /* Сферическая метрика */Добавлены забытые в формуле индексы

2026-01-23T18:14:04Z

Сферическая метрика: Добавлены забытые в формуле индексы

Новая страница

[[Файл:RiemannKugel.svg|thumb|right|Сферу Римана можно представить как плоскость комплексных чисел, обернутую вокруг сферы]]
'''Сфе́ра Ри́мана''' — наглядное изображение множества <math>\widehat \C = \C \cup \{ \infty\}</math> в виде сферы, подобно тому, как [[Действительные числа|множество действительных чисел]] изображают в виде [[Числовая прямая|прямой]] и как [[Комплексные числа|множество комплексных чисел]] изображает в виде [[Комплексная плоскость|плоскости]]. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «[[Расширенная комплексная плоскость|множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой]]», наряду с термином «[[расширенная комплексная плоскость]]».{{sfn|Шабат|1969|с=16}}

При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве <math>\R^3</math>, задаваемая уравнением <math>x^2+y^2+z^2=z</math>, со [[Стереографическая проекция|стереографической проекцией]] в плоскость <math>Oxy</math>, отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь.{{sfn|Шабат|1969|с=16}}

== Описание ==
[[Файл:Riemannova koule.svg|thumb|right|256px|Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость]]
Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство <math>\R^3</math>. Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать <math>(\xi,\eta,\zeta)\in \R^3</math>. В <math>\R^3</math> рассмотрим сферу <math>S</math>, касающуюся плоскости <math>O\xi\eta</math> в точке <math>(0;0;0)</math>, с диаметром <math>1</math>. Такая сфера задаётся уравнением
:<math>S \colon \xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta</math>.
Каждой точке плоскости <math>(\xi;\eta;0)\in O\xi\eta</math> можно поставить в соответствие точку сферы <math>M \in S</math> следующим образом. Проведём через точку <math>N=(0;0;1)</math> и <math>(\xi;\eta;0)</math> прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке <math>(\xi;\eta;0)</math>. Такое соответствие называется '''стереографической проекцией с центром в <math>N</math>'''. Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке <math>N</math> не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью <math>O\xi\eta</math> и <math>S \setminus \{N\}</math>.

Плоскость <math>O\xi\eta</math> можно отождествить с комплексной плоскостью <math>\mathbb{C}</math>, <math>x+iy=(\xi,\eta,0)</math>. Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение <math>\tau \colon \mathbb{C} \rightarrow S \setminus \{N\}</math>. Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество <math>\mathbb{C}</math> ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки <math>N</math>. Эту точку будем называть '''бесконечно удалённой точкой''' и обозначим её через <math>\infty</math>. Мы получили биекцию <math>\pi \colon \mathbb C\cup\{\infty\} \rightarrow S</math>. Множество <math>\mathbb C\cup\{\infty\}</math> называется '''расширенным множеством комплексных чисел''', сфера <math>S</math> — '''сферой Римана'''.{{sfn|Шабат|1969|с=16}}

Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по <math>\pi</math>, операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.

== Формальное определение ==
'''Сферой Римана''' называется сфера <math>S</math>, задаваемая в пространстве <math>R^3</math> уравнением
:<math>S \colon \xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta</math>,
вместе с отображением <math>\pi\colon S \rightarrow \mathbb C\cup\{\infty\} </math>, задаваемым как
:<math>\pi(\xi,\eta,\zeta)=\frac{\xi+i\eta}{1-\zeta}</math>

Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.

== Координаты ==
Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:
* аффинная комплексная координата <math>z</math>, способная принимать значение <math>\infty</math>;
* [[проективные координаты|проективные однородные комплексные координаты]] <math>[z_0:z_1]</math>;
* трёхмерные вещественные координаты <math>\xi, \eta, \zeta</math>, связанные уравнением:
: <math>\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \zeta</math>

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:
: <math>z = \frac{z_1}{z_0}</math>
: <math>z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.</math>
: <math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \dfrac{z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \dfrac{|z|^2}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math>
: <math>z=\frac{\xi+i\eta}{1-\zeta}</math>{{sfn|Шабат|1969|с=16}}

== Сферическая метрика ==
Сфера Римана позволяет ввести на множестве <math>\mathbb C</math> иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется '''сферической метрикой'''. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>
:<math>\rho(z_1,z_2)=\sqrt{(\xi_1-\xi_2)^2+(\eta_1-\eta_2)^2+(\zeta_1^2-\zeta_2^2)}</math>
Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.
:<math>\rho(z_1,z_2)=\frac{|z_2-z_1|}{\sqrt{1+|z_1|^2}\sqrt{1+|z_2|^2}}</math>
Евклидова и сферические метрики эквивалентны на <math>\mathbb C</math>. Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов <math>z_1,z_2\in \mathbb{C} \cup \{\infty\}</math>
:<math>\rho(z_1,z_2)=\sqrt{(\xi_1-\xi_2)^2+(\eta_1-\eta_2)^2+(\zeta_1^2-\zeta_2^2)}</math>
Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.
:<math>\rho(z,\infty)=\frac{1}{\sqrt{1+|z|^2}}</math>{{sfn|Шабат|1969|с=16}}

== Автоморфизмы ==
Автоморфизмами области <math>U \subset \mathbb{C} \cup \infty</math> называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются [[дробно-линейные преобразования]] (или [[преобразования Мёбиуса]]). Пусть
:<math>\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\neq 0</math>
Дробно-линейное преобразование <math>f\colon \mathbb{C} \cup \infty \rightarrow \mathbb{C} \cup \infty</math> определяется как
:<math>f(z) = \frac{az+c}{bz+d}</math>,
достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.

Дробно-линейные отображения на сфере Римана переводят окружности в окружности.{{sfn|Шабат|1969|с=47}}
== Приложения ==
Помимо математики, сфера Римана известна в [[теоретическая физика|теоретической физике]].

В [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]] сфера Римана является моделью [[небесная сфера|небесной сферы]]. Преобразования Мёбиуса связаны с [[преобразования Лоренца|преобразованиями Лоренца]], и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со [[спинор]]ами. В [[квантовая механика|квантовой механике]] сфера Римана параметризует [[состояние (квантовая механика)|состояния]] систем, описываемых 2-мерным пространством (см. [[q-бит]]), в особенности [[спин]]а [[масса|массивных]] частиц со спином 1/2, таких как [[электрон]].
В этом контексте сферу Римана называют [[Сфера Блоха|сферой Блоха]] и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту <math>\theta</math> отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. <math>0<\theta<\pi/2</math> (см. рис.)
[[Файл:Blochsphere.svg|thumb|right|[[Сфера Блоха]]]]
В таком случае верны соотношения:
: <math>z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta</math>

: <math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.</math>

В [[Поляризация_волн|поляризационной оптике]] сферу Римана называют [[Поляризация_волн#Параметры_Стокса|сферой Пуанкаре]], а оси координат — [[Поляризация_волн#Параметры_Стокса|параметрами Стокса]].

== Внутренность сферы ==
Внутренность сферы ([[шар (стереометрия)|шар]]) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях.
Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически [[специальная теория относительности|релятивистским]] досветовым [[скорость|скоростям]].
Это пространство является ''гиперболическим'' (имеет постоянную отрицательную [[скалярная кривизна|кривизну]] наподобие [[плоскость Лобачевского|плоскости Лобачевского]], только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется [[действие группы|действие]] преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым [[смешанные состояния|смешанным состояниям]] q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными [[эрмитова матрица|эрмитовыми матрицами]] размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]] |заглавие=Введение в комплексный анализ |ссылка= |издание= |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=[[1969]] |том= |страниц=577 |isbn= |ref=Шабат}}

== Ссылки ==
* {{БСЭ3|статья=Римана сфера}}
* {{springer|title=Riemann sphere|id=p/r082010}}

[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Римановы поверхности]]

Сфера Римана - История изменений

imported>Артём4637: /* Сферическая метрика */Добавлены забытые в формуле индексы