imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

2025-11-04T19:49:44Z

удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён

Новая страница

[[Файл:Stereographic Projection Transversal Extreme.jpg|250px|thumb|Карта поверхности Земли в стереографической проекции]]

'''Стереографи́ческая проекция''' — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

== Определение ==
[[Файл:Stereo.svg|250px|thumb|Стереографическая проекция]]
Точка <math>N</math> (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости <math>\Pi</math>.
Через каждую точку <math>x \neq N</math> сферы проходит единственная прямая <math>D</math>, соединяющая <math>N</math> и <math>x</math>.
Прямая <math>D</math> пересекает плоскость в единственной точке <math>X</math>, которая, таким образом, является образом точки <math>x</math> при стереографической проекции.
В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой <math>N</math> на плоскость <math>\Pi</math>.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки <math>N</math>.
Этот элемент — так называемая ''бесконечно удалённая точка'', обозначаемая символом <math>\infty</math>.
Плоскость, дополненная элементом <math>\infty</math>, называется ''расширенной плоскостью''.
Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является [[Гомеоморфизм|гомеоморфным]] отображением, при стремлении прообраза <math>x \to N</math> его образ <math>X \to \infty</math>.

== Свойства ==
*Стереографическая проекция является [[конформное отображение|конформным отображением]] — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции <math>N</math>.

*Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.

*Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм [[Проективное пространство|комплексной проективной прямой]] <math>\mathbb{C} \mathrm{P}^1</math> на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем <math>\mathbb{R}</math>) вещественную плоскость с координатами <math>x,y</math> как одномерную (над полем <math>\mathbb{C}</math>) прямую комплексного переменного <math>z=x+iy</math>.

* Движения сферы стереографической проекции порождают [[Преобразование Мёбиуса|преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости]], подобно тому как [[Гномоническая проекция]] порождает [[проективная геометрия|проективные преобразования]] на плоскости<ref>{{книга |заглавие=Новые_встречи_с_геометрией_1978 |страницы=225 |ссылка=http://proxy.bookfi.org/book/590123 |издательство=Москва «Наука» |год=1978 |язык= |автор=Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер.}}{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2019 |bot=InternetArchiveBot }} (стр. 186)</ref>.

==Приложения==

=== В фотографии ===

[[Файл:Globe panorama03.jpg|thumb|250px|Сферическая панорама в стереографической проекции]]
Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам.
Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты».
В сравнении с другими [[азимутальные проекции|азимутальными проекциями]], стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате [[Конформное отображение|конформности]] проекции.

=== В кристаллографии ===

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения [[Кристаллографическая точечная группа симметрии|точечных групп симметрии кристаллов]].

== История ==

Стереографическая проекция была открыта [[Аполлоний Пергский|Аполлонием Пергским]] ок. 200 года до н. э.
Свойства этой проекции были описаны [[Клавдий Птолемей|Клавдием Птолемеем]] в трактате «Планисферий».
Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в [[астролябия|астролябии]].

== Вариации и обобщения ==

Стереографическая проекция приложима к [[гиперсфера|''n''-сфере]] ''S''''n'' в (''n'' + 1)-мерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] '''E'''''n'' + 1.
Если ''Q'' — точка на ''S''''n'' и ''E'' — [[гиперплоскость]] в '''E'''''n'' + 1, то стереографической проекцией точки ''P'' ∈ ''S''''n'' − {''Q''} является точка ''P''′ пересечения линии <math>\scriptstyle\overline{QP}</math> с ''E''.

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления [[3-сфера|3-сферы]] и [[Расслоение Хопфа|расслоения Хопфа]].

== См. также ==
* [[Проекция (геометрия)]]
* [[Комплексная плоскость]]
* [[Сфера Римана]]
* [[Преобразование Мёбиуса]]

== Литература ==
* Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. [http://plm.mccme.ru/ann/a53.htm ''Стереографическая проекция'']. Серия «[[Популярные лекции по математике]]», вып. 53. М.: Наука, 1973.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://www.flickr.com/photos/gadl/sets/72157594279945875/ Примеры «маленьких планет»]

{{Внешние ссылки}}
{{перевести|en|Stereographic projection}}

[[Категория:Стереометрия]]
[[Категория:Картографические проекции]]

Стереографическая проекция - История изменений

imported>Alex NB OT: удаление кода «und», см. обсуждение Википедия:Форум/Архив/Вниманию участников/2020/02 § Язык не определён