imported>Roxiffe-bot: удаление зацикленных ссылок

2025-05-05T23:06:37Z

удаление зацикленных ссылок

Новая страница

'''Степень отображения''' — [[гомотопический инвариант]] [[непрерывное отображение|непрерывного отображения]] между [[Компактное пространство|компактными]] [[многообразие|многообразиями]] равной размерности.

В простейшем случае, для отображения из окружности в окружность <math>\varphi\colon\mathbb S^1\to \mathbb S^1</math>
степень отображения можно определить как число оборотов точки <math>\varphi(x)</math> когда <math>x</math> пробегает окружность.

==Определения==

===Гомологическое===

Пусть ''X'' и ''Y'' замкнутые [[связное пространство|связные]] [[ориентация|ориентируемые]] [[многообразие|многообразия]] равной размерности.
Тогда степень непрерывного отображения <math>f\colon X\to Y</math>
определяется как целое число <math>\deg(f)</math> такое, что
:<math>f_*([X])=\deg(f)[Y].</math>
где <math>f_*</math> обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и <math>[X]</math> обозначает [[фундаментальный класс]] многообразия <math>X</math>.

===Через подсчёт ориентаций===
Рассмотрим [[Гладкая функция|гладкое]] отображение <math>n</math>-мерных компактных связных [[ориентация|ориентированных]] [[гладкое многообразие|гладких многообразий]] <math>\varphi: M_1^n\to M_2^n</math>.

Точка из <math>M_2^n</math> называется регулярной, если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение <math>\varphi</math> не вырождено (то есть невырожден [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] отображения в каждом из прообразов).
Согласно [[лемма Сарда|лемме Сарда]], почти все точки <math>M_2^n</math> являются регулярными значениями <math>\varphi</math>.

Припишем каждому прообразу регулярной точки число <math>+1</math>, если отображение <math>\varphi</math> в этой точке сохраняет ориентацию и <math>-1</math> в противном случае.
Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется '''степенью отображения'''.

Применив лемму Сарда можно доказать, что степень отображения не зависит от выбора регулярной точки.
Следовательно, данное определение корректно.

==Свойства==
*Степень отображения не изменяется при [[гомотопия|гомотопии]] (непрерывном изменении) отображения и, таким образом, является [[гомотопический инвариант|гомотопическим инвариантом]] отображения.

{{math-stub}}
{{нет ссылок|дата=2023-03-03}}

[[Категория:Алгебраическая топология]]

Степень отображения - История изменений

imported>Roxiffe-bot: удаление зацикленных ссылок