imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

2025-09-04T19:40:36Z

Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО

Новая страница

'''[[Среднее значение|Среднее]] квадратическое''' ('''квадратичное''')<ref>{{книга|заглавие=Большой Энциклопедический словарь|часть=Квадратичное среднее|год=2000|автор=|язык=ru}}</ref> — число <math>s</math>, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел <math>a_1, a_2,\ldots, a_n</math>:
: <math>s=\sqrt{\frac {a_1^2+ a_2^2+ \ldots+ a_n^2} {n}}</math>

Среднее квадратическое — частный случай [[Среднее степенное|среднего степенного]] и потому подчиняется [[Неравенство о средних|неравенству о средних]]. В частности, для любых чисел оно не меньше [[Среднее арифметическое|среднего арифметического]]:
: <math>\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\leqslant\sqrt{\frac {a_1^2+ a_2^2+ \ldots+ a_n^2} {n}}</math>

Среднее квадратическое находит широкое применение во многих науках. В частности, через него определяется основное понятие [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] и [[Математическая статистика|математической статистики]] — [[Дисперсия случайной величины|дисперсия]] (квадратный корень из которой называется [[среднеквадратическое отклонение|среднеквадратическим отклонением]]). Также тесно связан с этим понятием [[метод наименьших квадратов]], имеющий общенаучное значение.

== Свойства ==
* Среднее квадратическое набора неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого набора.

== Параметр RMS ==

В разных технических приложениях вводится параметр RMS ({{lang-en|root mean square}}). Для дискретной величины <math>a</math> он вычисляется по вышеприведённой формуле <math>s</math>, а для непрерывной или считающейся непрерывной — как
: <math> \mathrm{RMS} = \left(\frac{1}{X}\displaystyle\int_0^X a^2(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\right)^{1/2}</math>,
где <math>a</math> — исследуемая величина, изменяющаяся в зависимости от другой величины <math>x</math> при пробегании последней значений от 0 до <math>X</math>.

Так, для измерения напряжения [[Переменный ток|переменного тока]] простые [[Вольтметр|измерительные приборы]] преобразуют [[Переменный ток#Переменный синусоидальный ток|сигнал]] <math>I(t)</math> в [[постоянный ток]] <math>I_{\text{eff}}</math> эквивалентной величины — среднеквадратичного значения RMS. То есть в данном случае роль <math>x</math> играет время <math>t</math>, роль <math>a</math> — мгновенное значение тока <math>I</math>, роль <math>X</math> — достаточно большой интервал времени обработки сигнала. Сигнал фильтруется в среднее выпрямленное значение с поправочным коэффициентом. Как правило, при этом значение коэффициента отвечает именно синусоидальному сигналу. Однако, есть приборы, способные учесть произвольную форму сигнала; тогда даётся маркировка «True RMS» — истинное ({{lang-en|true}}) среднеквадратичное значение.

Ещё один пример — использование RMS как показателя шероховатости поверхности<ref name="rms_surf">''И. Д. Бурлаков'', ''И. А. Денисов'', ''А. Л. Сизов'', ''А. А. Силина'', ''Н. А. Смирнова'' [https://applphys.orion-ir.ru/appl-14/14-4/PF-14-4-80.pdf Исследование шероховатости поверхности подложек...] {{Wayback|url=https://applphys.orion-ir.ru/appl-14/14-4/PF-14-4-80.pdf |date=20240702203626 }} — журн. «Прикладная физика», No. 4, с. 80-84 (2014).</ref>. Тогда роль <math>x</math> может играть декартова координата вдоль исследуемой поверхности в пределах <math>0...l</math>, а роль <math>a</math> — отклонение высоты точки на поверхности от номинального положения (при абсолютной гладкости всюду <math>a = 0</math>). Зависимость <math>a(x)</math> может быть получена, скажем, с помощью [[Атомно-силовой микроскоп|атомно-силового микроскопа]]: вначале записывается профиль рельефа <math>z(x)</math>, затем находится среднее значение <math>\langle z\rangle = l^{-1}\displaystyle\int z(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x</math> и далее <math>a(x) = z(x)-\langle z\rangle</math>, после чего рассчитывается RMS.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{перевести|en|Root mean square}}
{{Внешние ссылки}}
{{Среднее}}
{{rq|
{{нет иллюстрации|дата=2008-11-02}}
{{нет источников|дата=2008-11-02}}
}}

[[Категория:Средние величины|Квадратическое]]

Среднее квадратическое - История изменений

imported>Sldst-bot: Удаление topic=math из ш:Rq — уже отслеживается через ш:Статья проекта Математика на СО