imported>WinterheartBot: Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1

2025-12-09T20:40:29Z

Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1

Новая страница

__NOTOC__
'''Сре́днее гармони́ческое''' — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны '''положительные''' числа <math>x_1, \ldots, x_n</math>, тогда их средним гармоническим будет такое число <math>H</math>, что

::<math>\frac nH =
\frac 1{x_1} + \ldots + \frac 1{x_n}</math>.

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

::<math>H(x_1, \ldots, x_n) =
\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}} =
\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}</math>,
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам <math>x_1, \ldots, x_n</math>.

== Свойства ==

* Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что <math>\min(x_1, \ldots, x_n) \leqslant
H(x_1, \ldots, x_n) \leqslant
\max(x_1, \ldots, x_n)</math>.
* Вообще, среднее гармоническое является [[среднее степенное|средним степени]] -1.
* Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:

::<math>H(x_1,\ldots,x_n) =
A^{-1}(x_1^{-1}, \ldots, x_n^{-1})</math> и
::<math>A(x_1,\ldots,x_n) =
H^{-1}(x_1^{-1}, \ldots, x_n^{-1})</math> (когда последнее определено).

* [[Неравенство о средних]] утверждает, что среднее гармоническое чисел не превосходит [[среднее геометрическое]], [[среднее арифметическое]] и [[среднее квадратическое]], причём все средние равны только в случае равенства всех чисел <math>x_1 = \ldots = x_n,</math> то есть:

:: <math>H \leqslant G \leqslant A \leqslant S,</math>
: где <math>H</math> — среднее гармоническое;
: <math>G</math> — среднее геометрическое;
: <math>A</math> — среднее арифметическое;
: <math>S</math> — среднее квадратическое.

== Среднее гармоническое взвешенное ==
{{Основная статья|Среднее гармоническое взвешенное}}
Пусть есть набор неотрицательных чисел <math>x_1, \ldots, x_n</math> и набор чисел <math>w_1, \ldots, w_n</math>, где <math>w_i</math> называется '''весом''' величины <math>x_i</math>. Тогда их '''взвешенным средним гармоническим''' называется число

:: <math>H = \sum_{i=1}^n w_i \bigg/ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}=\dfrac{w_1+w_2+\ldots+w_n}{w_1/x_1+w_2/x_2+ \ldots + w_n/x_n}. </math>

Из формулы следует, что при <math>w_1 = \ldots = w_n \ne 0</math> (когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.

== Приложения и примеры ==
[[Файл:Trapéz Harmonikus.svg|thumb|У [[трапеция|трапеции]] длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований<ref>{{книга|автор=Роу С.|заглавие=Геометрические упражнения с куском бумаги|издание=2-е изд|место=Одесса|издательство=Матезис|год=1923|ссылка=http://www.mathesis.ru/book/rou2|страницы=65|archive-date=2012-05-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20120524002856/http://www.mathesis.ru/book/rou2}}</ref>]]
[[Файл:Круги-близнецы.gif|thumb|Диаметры заполненных аквамариновым цветом кругов, называемых [[круги-близнецы|кругами-близнецами]], одинаковые и равны среднему гармоническому радиусов полуокружностей, построенных на отрезках AB и BC как на диаметрах.]]
В [[статистика|статистике]] среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

В формуле тонкой [[линза|линзы]] удвоенное [[фокусное расстояние]] равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для [[сферическое зеркало|сферического зеркала]].

Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).

Средняя [[плотность]] сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).

[[Сопротивление (физика)|Сопротивление]], получающееся при параллельном подключении нескольких [[Резистор|резисторов]], равно среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных [[Электрический конденсатор|конденсаторов]].

== См. также ==
* [[Гармоническая пропорция]]
* [[Гармонический ряд]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* ''Weisstein, Eric W.'' [http://mathworld.wolfram.com/HarmonicMean.html Harmonic Mean] / MathWorld — Wolfram Web Resource

{{Среднее}}

[[Категория:Средние величины|Гармоническое]]

Среднее гармоническое - История изменений

imported>WinterheartBot: Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1