imported>Tosha: /* Конечномерный случай */

2023-01-02T16:11:40Z

Конечномерный случай

Новая страница

{{Значения|Спектр (значения)}}
'''Спектр оператора''' — множество чисел, характеризующее [[линейный оператор]]. Применяется в [[линейная алгебра|линейной алгебре]], [[функциональный анализ|функциональном анализе]] и [[квантовая механика|квантовой механике]].

== Конечномерный случай ==
Пусть ''A'' — оператор, действующий в конечномерном [[линейное пространство|линейном пространстве]] ''E''.
Спектром оператора (обычно обозначается <math>\sigma(A)</math>) называется множество его [[Собственные векторы, значения и пространства|собственных значений]].

Квадратную [[матрица (математика)|матрицу]] порядка <math>n</math> можно рассматривать как линейный оператор в [[размерность пространства|''n''-мерном]] пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины.
В этом случае говорят о ''спектре матрицы''.

== Общее определение ==
Пусть ''A'' — оператор, действующий в [[банахово пространство|банаховом пространстве]] ''E'' над <math>\mathbb C</math>. Число λ называется ''регулярным'' для оператора ''A'', если оператор <math>R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1}</math>, называемый [[Резольвента линейного оператора|резольвентой]] оператора ''A'', определён на всём ''E'' и [[непрерывный оператор|непрерывен]]. Множество регулярных значений оператора ''A'' называется '''резольвентным множеством''' этого оператора, а [[дополнение (теория множеств)|дополнение]] резольвентного множества — '''спектром''' этого оператора <math>\sigma(A)</math>. Спектр ограниченного оператора представляет собой [[Компактное пространство|компакт]] в <math>\mathbb C</math> или является пустым. Спектр [[Ограниченный линейный оператор|линейного ограниченного оператора]] непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных '''классификаций спектра''' является следующая:
# ''дискретным (точечным) спектром'' <math>\sigma_p(A)</math> называется множество таких <math>\lambda</math>, при которых оператор <math>A - \lambda I</math> не [[Инъекция (математика)|инъективен]]. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора ''A''; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
# ''непрерывным спектром'' <math>\sigma_c(A)</math> называется множество значений <math>\lambda</math>, при которых резольвента <math>(A - \lambda I)^{-1}</math> определена на [[всюду плотное множество|всюду плотном множестве]] в ''E'', но не является непрерывной (то есть оператор <math>A - \lambda I</math> инъективен, но не [[Сюръекция|сюръективен]], а его образ всюду плотен);
# ''остаточным спектром'' <math>\sigma_r(A)</math> называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор <math>A - \lambda I</math> инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).

Максимум [[абсолютная величина|модулей]] точек спектра оператора ''A'' называется ''спектральным радиусом'' этого оператора и обозначается через <math>r(A)</math>. При этом выполняется равенство
<math>r(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}</math>.

В комплексном случае резольвента является [[голоморфная функция|голоморфной]] операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при <math>\lambda>r(A)</math> она может быть разложена в [[ряд Лорана]] с центром в точке <math>z=0</math>.

Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью ({{lang-en|spectral gap}}).

=== В квантовой механике ===
Спектр [[самосопряжённый оператор|самосопряжённых операторов]] играет важную роль в [[квантовая механика|квантовой механике]], определяя множество возможных значений [[квантовая наблюдаемая|наблюдаемой]] при [[измерение (квантовая механика)|измерении]]. В частности, спектр [[гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониана]] определяет допустимые [[уровни энергии]] [[квантовая система|квантовой системы]].

=== Непрерывный спектр в квантовой механике===
Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная [[волновая функция]]
<math> \Psi </math> может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

== См. также ==
* [[Проектор (алгебра)]]
* [[Спектр алгебры]]

== Литература ==

* {{книга
|редактор = Виноградов И. М.
|заглавие = Математическая энциклопедия
|место = М.
|издательство = Советская энциклопедия
|год = 1984
|страниц = 1248
|том = 5 Слу — Я
}}

[[Категория:Теория операторов]]
[[Категория:Матрицы]]
[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Спектр по типу]]
[[Категория:Спектральная теория]]

Спектр оператора - История изменений

imported>Tosha: /* Конечномерный случай */