imported>Fuxx: -wikilink with underscore

2022-12-29T06:24:46Z

-wikilink with underscore

Новая страница

'''Сопряжённый оператор''' — обобщение понятия [[Эрмитово-сопряжённая матрица|эрмитово-сопряжённой матрицы]] для бесконечномерных пространств.

== Линейная алгебра ==
Преобразование <math>\varphi^*</math> называется '''сопряжённым''' [[Линейное отображение|линейному преобразованию]] <math>\varphi</math>, если для любых [[Вектор (математика)|векторов]] <math>x</math> и <math>y</math> выполнено равенство <math>\left( \varphi \left( x \right), y \right) = \left( x, \varphi^* \left( y \right) \right)</math>. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в [[базис]]е определяется по матрице преобразования формулой <math>A^*=\Gamma^{-1} A^T \Gamma</math>, если [[Евклидово пространство|пространство евклидово]], и формулой <math>A^*=\overline{\Gamma^{-1} A^T \Gamma}</math> в [[Унитарное пространство|унитарном пространстве]]. <math>\Gamma</math> здесь обозначает [[матрица Грама|матрицу Грама]] выбранного базиса. Если он [[Ортогональный базис|ортонормированный]], эти формулы принимают вид <math>A^*=A^T</math> и <math>A^*=\bar{A}^T</math> соответственно.

== Общее линейное пространство ==
Пусть <math> E, \, L </math> — [[Линейное пространство|линейные пространства]], а <math> E^*, \, L^* </math> — [[Сопряжённое пространство|сопряжённые линейные пространства]] (пространства линейных [[функционал]]ов, определённых на <math> E, \, L </math>). Тогда для любого [[линейный оператор|линейного оператора]] <math>A\colon E \to L </math> и любого [[Линейный функционал|линейного функционала]] <math> g \in L^*</math> определён линейный функционал <math> f \in E^*</math> — суперпозиция <math> g </math> и <math>A</math>: <math> f(x)=g(A(x))</math>. Отображение <math> g\mapsto f</math> называется '''''сопряжённым линейным оператором''''' и обозначается <math> A^*\colon L^* \to E^* </math>.

Если кратко, то <math> (A^*g, x) = (g, Ax)</math>, где <math> (B, x)</math> — действие функционала <math>B</math> на вектор <math> x</math>.

== Топологическое линейное пространство ==
Пусть <math> E, \, L </math> — [[Топологическое линейное пространство|топологические линейные пространства]], а <math> E^*, \, L^* </math> — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства [[непрерывный функционал|''непрерывных'']] [[линейный функционал|линейных функционалов]], определённых на <math> E, \, L </math>). Для любого непрерывного линейного оператора <math>A\colon E \to L </math> и любого непрерывного линейного функционала <math> g \in L^*</math> определён непрерывный линейный функционал <math> f \in E^*</math> — суперпозиция <math> g </math> и <math>A</math>: <math> f(x)=g(A(x))</math>. Нетрудно проверить, что отображение <math> g\mapsto f</math> линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также <math> A^*\colon L^* \to E^* </math>.

== Банахово пространство ==
Пусть <math>A\colon X\to Y</math> — непрерывный [[линейный оператор]], действующий из [[банахово пространство|банахова пространства]] <math>X</math> в банахово пространство <math>Y</math><ref>Пространства <math>X,Y</math> предполагаются комплексными</ref> и пусть <math>X^*, Y^*</math> — [[сопряжённое пространство|сопряжённые пространства]]. Обозначим <math>\forall x\in X, f\in Y^* [Ax,f]=f(Ax)</math>. Если <math>f</math> — фиксировано, то <math>[Ax,f]</math> — [[линейный непрерывный функционал]] в <math>X, [Ax,f]\in X^*</math>. Таким образом, для <math>\forall f\in Y^*</math> определён [[линейный непрерывный функционал]] из <math>X^* </math>, поэтому определён оператор <math>A^*\colon Y^*\to X^*</math>, такой что <math>[Ax,f]=[x,A^*f]</math>.

<math>A^*</math> называется '''сопряжённым оператором'''.
Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для <math>A^*</math> справедливы следующие свойства:
* Оператор <math>A^*</math> — линейный.
* Если <math>A</math> — [[линейный непрерывный оператор]], то <math>A^*</math> также линейный непрерывный оператор.
* Пусть <math>O</math> — [[Линейное отображение#Важные частные случаи|нулевой оператор]], а <math>E</math> — [[Тождественный оператор|единичный оператор]]. Тогда <math>O^*=O, E^*=E</math>.
* <math>(A+B)^*=A^*+B^*</math>.
* <math>\forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar{\alpha}A^*</math>.
* <math>(AB)^*=B^*A^*</math>.
* <math>(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}</math>.

== Гильбертово пространство ==
В [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] <math> H</math> [[Теорема представлений Риса|теорема Рисса]] даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора <math>A\colon H \to H</math> равенство <math> (Ax, y) = (x, A^*y)</math> определяет сопряжённый оператор <math>A^*\colon H \to H</math>. Здесь <math> (x, y)</math> — скалярное произведение в пространстве <math> H</math>.

== См. также ==
* [[Эрмитов оператор]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = Шефер Х.
|заглавие = Топологические векторные пространства
|издание =
|место = М.
|издательство = Мир
|год = 1971
|страниц =
|isbn =
}}
* {{книга
|автор = [[Ворович, Иосиф Израилевич|Ворович И.И.]], Лебедев Л.П.
|заглавие = Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды
|издание =
|место = М.
|издательство = Вузовская книга
|год = [[2000 год|2000]]
|страниц = 320
|isbn =
}}
* {{книга
|автор = [[Треногин, Владилен Александрович|Треногин В. А.]]
|заглавие = Функциональный анализ
|издание =
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = [[1980 год|1980]]
|страниц = 495
|isbn =
}}
* {{книга
|заглавие = Функциональный анализ
|ответственный= редактор [[Крейн, Селим Григорьевич|С.Г.Крейн]]
|издание = 2-е, переработанное и дополненное
|место = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год = [[1972 год|1972]]
|страниц = 544
|серия = Справочная математическая библиотека
}}
* {{книга
|автор = [[Халмош, Пол Ричард|Халмош П.]]
|название = Конечномерные векторные пространства
|оригинал = Finite-dimensional vector spaces
|год = [[1963 год|1963]]
|место = М.
|страниц = 264
|издательство = [[Физматгиз]]
}}
* {{книга
|автор = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г.Е.]]
|название = Математический анализ (функции одного переменного), часть 3
|год = [[1970 год|1970]]
|место = М.
|страниц = 352
|издательство = [[Наука]]
}}
* ''Вайнберг М. М.'' Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Теория операторов]]

Сопряжённый оператор - История изменений

imported>Fuxx: -wikilink with underscore