imported>WinterheartBot: Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1

2026-02-14T20:41:03Z

Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1

Новая страница

'''Соверше́нное число́''' ({{lang-grc|ἀριθμὸς τέλειος}}) — [[натуральное число]], равное сумме всех своих [[собственный делитель|собственных делителей]] (то есть всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Например, число 6 равно сумме своих собственных делителей {{nobr|1 + 2 + 3}}. Это понятие было введено [[Пифагореизм|пифагорейцами]] в VI веке {{донэ}}; согласно их [[нумерология|нумерологической]] мистике, совпадение числа с суммой своих делителей свидетельствовало об особом совершенстве такого числа<ref>{{книга|автор=[[Успенский, Владимир Андреевич|Успенский В. А.]] |заглавие=Предисловие к математике [сборник статей] |место=СПб |серия=Популярная наука, вып. 12 |издательство=ООО «Торгово-издательский дом Амфора» |год=2015 |страницы=87 |страниц=474 |isbn=978-5-367-03606-0}}</ref>.

Если суммировать ''все'' делители числа (то есть добавить само число) <math> \sigma(N) - N = N</math> или <math> \sigma(N) = 2N,</math> получим другое эквивалентное определение: Совершенные числа — это числа, у которых сумма всех делителей в 2 раза больше самого числа.

По мере того как [[натуральное число|натуральные числа]] возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Неизвестно также, есть ли среди них нечётные.

Первые совершенные числа<ref>{{OEIS|A000396}}</ref>:
# {{num1|6}}: <math>\ 2^{2-1}(2^2-1)</math> = 2 · 3,
# {{num1|28}}: <math>\ 2^{3-1}(2^3-1)</math> = 4 · 7,
# {{число|496}}: <math>\ 2^{5-1}(2^5-1)</math> = 16 · 31,
# {{число|8128}}: <math>\ 2^{7-1}(2^7-1)</math> = 64 · 127,
# {{число|33550336}}: <math>\ 2^{13-1}(2^{13}-1)</math> = 4096 · 8191,
# {{число|8589869056}}: <math>\ 2^{17-1}(2^{17}-1)</math> = {{число|65536}} · {{число|131071}},
# {{число|137438691328}}: <math>\ 2^{19-1}(2^{19}-1)</math> = {{число|262144}} · {{число|524287}},
# {{число|2 305 843 008 139 952 128}}: <math>\ 2^{31-1}(2^{31}-1)</math> = 1 073 741 824 · 2 147 483 647,
# {{число|2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176}}: <math>\ 2^{61-1}(2^{61}-1)</math> = 1 152 921 504 606 846 976 · 2 305 843 009 213 693 951,
# {{число|191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216}} : <math>\ 2^{89-1}(2^{89}-1)</math> = 309 485 009 821 345 068 724 781 056 · 618 970 019 642 690 137 449 562 111,
# 131 640 364 585 696 … 943 117 783 728 128: <math>\ 2^{107-1}(2^{107}-1)</math>
# 144 740 111 546 645 … 349 131 199 152 128: <math>\ 2^{127-1}(2^{127}-1)</math>
# 235 627 234 572 673 … 492 160 555 646 976: <math>\ 2^{521-1}(2^{521}-1)</math>
# 141 053 783 706 712 … 570 759 537 328 128: <math>\ 2^{607-1}(2^{607}-1)</math>
# 541 625 262 843 658 … 345 764 984 291 328: <math>\ 2^{1279-1}(2^{1279}-1)</math>
: '''…'''

== Примеры ==
* 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
* 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
* 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
* 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.

== История изучения ==

=== Чётные совершенные числа ===
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге [[Начала Евклида|«Начал» Евклида]], где было доказано, что число <math>\ 2^{p-1}(2^p-1)</math> является совершенным, если число <math>\ 2^p-1</math> является [[простое число|простым]] (т. н. простые [[числа Мерсенна]])<ref>{{Cite web |url=http://www.arbuz.uz/z_sov1.html |title=Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел |access-date=2010-04-19 |archive-date=2010-10-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20101031021614/http://arbuz.uz/z_sov1.html |url-status=live }}</ref>. [[Ибн аль-Хайсам]] был первым, кто попытался (неудачно) доказать и обратное утверждение, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом<ref>{{Cite web|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Haytham/|title=Al-Haytham|lang=en|website=Maths History|access-date=2025-06-04}}</ref>. Строгое доказательство было позднее дано [[Леонард Эйлер|Леонардом Эйлером]].

В античные времена были известны только первые четыре совершенных числа (соответствующие {{math|''р''}} = 2, 3, 5 и 7), они приведены в «Арифметике» [[Никомах Геразский|Никомаха Геразского]].

Пятое, шестое и седьмое совершенные числа обнаружил в [[XIII век]]е арабский математик {{нп1|Исмаил ибн Фаллус|||Ibn Fallus}}, однако в Европе эти числа оставались неизвестны ещё несколько сотен лет.

Пятое совершенное число {{num|33550336}}, соответствующее {{math|''р''}} = 13, нашёл в [[1536 год в науке|1536 году]] голландский математик Худалрик Peгиус ({{lang-la|Hudalrichus Regius}}) в трактате ''«Utriusque Arithmetices»'' (1536 год)<ref>{{книга |автор=Попов И. Н. |заглавие=Совершенные и дружественные числа: Учебное пособие |место=Архангельск |издательство=Поморский гос. университет им. М. В. Ломоносова |год=2005 |ссылка=https://narfu.ru/university/library/books/1610.pdf |страниц=153 |isbn=5-88086-514-2 |archive-date=2021-11-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211125100406/https://narfu.ru/university/library/books/1610.pdf }}</ref>. Позднее это число было также обнаружено историками в неопубликованной рукописи [[Региомонтан]]а 1461 года<ref name=PN/>.

В 1603 году итальянский математик [[Катальди, Пьетро Антонио|Катальди]] обнаружил и опубликовал шестое и седьмое совершенные числа: {{num|8589869056}} и {{num|137438691328}}. Они соответствуют {{math|''р''}} = 17 и {{math|''р''}} = 19. Заодно он опроверг гипотезу [[Никомах Герасский|Никомаха]], согласно которой в последних цифрах членов последовательности совершенных чисел чередуются цифры 6 и 8<ref name=PN>{{Cite web |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers/ |title=Perfect numbers |access-date=2021-09-21 |archive-date=2021-10-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211005013348/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers/ |url-status=live }}</ref>.

Восьмое совершенное число <math>\ 2^{31-1}(2^{31}-1)</math> в 1772 году открыл [[Эйлер, Леонард|Леонард Эйлер]], а также доказал, что любое чётное совершенное число должно иметь вид <math>\ 2^{n-1}(2^{n}-1)</math>, причём <math>\ 2^{n}-1 </math> должно быть простым.

Девятое совершенное число <math>\ 2^{61-1}(2^{61}-1)</math> в 1883 году открыл [[Первушин Иван Михеевич|Иван Михеевич Первушин]] — священник Русской православной церкви из Шадринского уезда Пермской губернии<ref>{{книга |заглавие=Уральская историческая энциклопедия |издание=Изд. 2-е, перераб. и доп. |ответственный=Гл. ред. В.В. Алексеев|место=Екатеринбург |издательство=Академкнига; УрО РАН |год=2000 |страниц=637, [1] |isbn=5-7691-0795-2 |ссылка=http://www.ihist.uran.ru/files/2000_UralHist.pdf |access-date=2024-01-21 |archive-date=2018-09-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180905175711/http://www.ihist.uran.ru/files/2000_UralHist.pdf |url-status=live |язык=ru}}</ref>.

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для {{math|''р''}} = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

На 2024 год известно 52 совершенных числа, вытекающих из простых [[Число Мерсенна|чисел Мерсенна]], поиском которых занимается проект добровольных вычислений [[GIMPS]].

52-е совершенное число обнаружил 36-летний Люк Дюрант из Калифорнии, США. Оно равно <math>\ 2^{136 279 841-1}(2^{136 279 841}-1)</math>.

=== Нечётные совершенные числа ===
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, конечно ли множество нечётных совершенных чисел, если они существуют.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10<sup>1500</sup>; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101<ref name="Ochem and Rao (2012)">{{статья |заглавие=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> |издание=[[Mathematics of Computation]] |том=81 |номер=279 |doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 |ссылка=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf |страницы=1869—1877 |zbl=pre06051364 |issn=0025-5718 |язык=en |тип=journal |автор=Ochem, Pascal; Rao, Michaël |год=2012 |archive-date=2016-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160115151106/http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf }}</ref>. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект [[добровольные вычисления|добровольных вычислений]] OddPerfect.org<ref>[https://web.archive.org/web/20181106015226/http://oddperfect.org/ OddPerfect.org]</ref>.

== Свойства ==
Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел:
: <math>1^3+3^3+5^3+\ldots+(2n-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)</math>.

Все чётные совершенные числа являются [[Треугольное число|треугольными]] и одновременно [[Шестиугольное число|шестиугольными числами]], то есть могут быть представлены в виде <math>n ( {2n - 1} )</math> для некоторого натурального числа <math>n</math>.

Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая само число), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям.

Все совершенные числа являются [[число Оре|числами Оре]].

Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число<ref>см. [[Нумерология#Сокращение чисел до цифр]]</ref>, то это число будет равно 1 {{s|1=(2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10…)}} Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

Благодаря своей форме <math>2^{p-1}(2^p-1)</math> каждое чётное совершенное число представлено в двоичной форме в виде последовательности <math>p</math> единиц, за которыми следует <math>p-1</math> нолей, например: <math>6_{10} = 110_2, 28_{10} = 11100_2, 496_{10} = 111110000_2, 8128_{10} = 1111111000000_2</math> ({{OEIS|id=A135650}}).

== В религии ==
Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, имеющих основание в [[Авраамические религии|авраамических религиях]], утверждающих, что [[Бог]] сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что [[Луна]] совершает оборот вокруг [[Земля|Земли]] примерно за 28 дней.

Джеймс Эшельман в книге «Еврейские иерархические имена Брии»<ref>{{Cite web |url=http://offtop.ru/vseproyavlenie/v1_687723__.php |title=Числа |access-date=2011-09-10 |archive-date=2015-04-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150416171330/http://offtop.ru/vseproyavlenie/v1_687723__.php |url-status=live }}</ref> пишет, что в соответствии с [[Гематрия|гематрией]]:
{{начало цитаты}}
Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это «теософское расширение» числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова ''малхут'' (царство). Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78.
{{конец цитаты|источник=}}

{{начало цитаты}}
«[[Левиафан]]» (букв. «извивающийся») — один из четырёх Князей Тьмы, воплощённый в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые со [[Сфирот|сфирой]] йесод. Во-вторых, «змей изгибающийся» может означать и «свернувшийся кольцами змей», то есть [[Кундалини]]. В-третьих, [[гематрия]] слова «Левиафан» — 496, так же как и слова «Малхут» (Царство); представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малхут, даёт богатую пищу для размышлений. В-четвёртых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, [[Имена и эпитеты Бога в иудаизме|имени]] «Эль», божественного имени трёх высших [[сфирот]] в Брии (в том числе и сфиры [[Кетер]], [[ангел]]ом которой является Йехоэль).
{{конец цитаты|источник=}}

В [[Евангелие от Иоанна|Евангелии от Иоанна]] число 496 связывает воедино Пролог и Эпилог. В Прологе 496 слогов, а в Эпилоге (более пространном) 496 слов<ref>{{книга |автор=[[Ричард Бокэм]] [пер. с англ. Н. Холмогоровой] |заглавие=Иисус глазами очевидцев : первые дни христианства: живые голоса свидетелей |место=Москва |издательство=Эксмо |год=2011 |страниц=669 |isbn=978-5-699-46401-2}}</ref>.

В сочинении «[[О граде Божьем]]» [[Августин Блаженный|святой Августин]] писал<ref>[http://libok.ru/read/?id=78 ''Саймон Сингх''. Великая Теорема Ферма. с. 9]{{Недоступная ссылка|date=Ноябрь 2018 |bot=InternetArchiveBot }}.</ref>:
{{начало цитаты}}
Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.
{{конец цитаты|источник=}}

== Вариации и обобщения ==
Античные математики различали три типа [[Натуральное число|натуральных чисел]], в зависимости от суммы их [[Собственный делитель|собственных делителей]]:
* [[избыточные числа]], для которых сумма собственных делителей больше, чем само число;
* [[недостаточные числа]], для которых сумма собственных делителей меньше, чем само число;
* совершенные числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу.

Современные исследования показали, что наиболее распространены недостаточные числа, их примерно 75 %. Избыточных чисел немногим менее 25 %. Доля совершенных чисел на интервале от 1 до <math>N</math> с ростом <math>N</math> стремится к нулю<ref>{{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Стюарт И.]] |ref=Иэн Стюарт |заглавие=Невероятные числа профессора Стюарта |место=М. |издательство=Альпина нон-фикшн |страниц=422 |оригинал=Professor Stewart's incredible numbers |год=2016 |isbn=978-5-91671-530-9 |страницы=103—104}}</ref>.

Натуральное число, сумма всех делителей которого кратна самому числу, называется {{iw|мультисовершенное число|мультисовершенным||Multiply perfect number}}<ref>{{Cite web |url=http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html |title=The Multiply Perfect Numbers Page |access-date=2022-02-10 |archive-date=2020-02-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200219180458/http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html |url-status=live }}</ref>.

== См. также ==
* [[Теория чисел в средневековом исламском мире]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{статья |автор=Депман И. |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1991/05/sovershennye_chisla.htm |заглавие=Совершенные числа |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=5 |год=1991 |страницы=13—17}}
* {{cite web |url=http://elementy.ru/problems/186/Sovershennye_chisla |title=Совершенные числа |author=Евгений Епифанов |publisher=Элементы}}
{{внешние ссылки}}
{{Числа по характеристикам делимости}}

[[Категория:Целочисленные последовательности]]

Совершенное число - История изменений

imported>WinterheartBot: Удаление неактуальных шаблонов: {{Нп1}}×1