imported>Alex NB OT: оформление ссылки на архивную копию, замена устаревших имён параметров (4)

2025-08-04T20:40:13Z

оформление ссылки на архивную копию, замена устаревших имён параметров (4)

Новая страница

{{Системы счисления}}
'''Систе́ма счисле́ния''' — [[символ]]ический метод записи [[Число|чисел]], представление чисел с помощью [[Письменность|письменных знаков]].

Система счисления:
* даёт представления множества чисел ([[Целые числа|целых]] и/или [[Вещественное число|вещественных]]);
* даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
* отражает [[алгебра]]ическую и [[Арифметика|арифметическую]] структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на:
* [[Позиционные системы счисления|позиционные]];
* непозиционные;
* смешанные.

== Позиционные системы счисления ==
{{main|Позиционная система счисления}}
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак ([[Цифры|цифра]]) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места ([[Числовой разряд|разряда]]), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается [[шумер]]ам и [[вавилон]]янам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная [[десятичная система счисления]], возникновение которой связано со [[Пальцевый счёт|счётом на пальцах]]. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.

Под позиционной системой счисления обычно понимается однородная <math>b</math>-ичная система счисления, которая определяется [[Целое число|целым числом]] <math>b>1</math>, называемым «основанием» системы счисления. Целое число без знака <math>x</math> в такой <math>b</math>-ичной системе счисления представляется в виде конечной [[Линейная комбинация|линейной комбинации]] степеней числа <math>b</math>:
: <math>x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k</math>, где <math>a_k</math> — это целые числа, называемые «[[Цифры|цифрами]]», удовлетворяющие неравенству <math>0 \leq a_k \leq (b-1)</math>.
Каждая степень <math>b^k</math> в такой записи называется «весовым коэффициентом разряда». Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя <math>k</math> (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число <math>x</math> записывают в виде последовательности его <math>b</math>-ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:
: <math>x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.</math>
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
: <math> 103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.</math>

Наиболее часто употребляемыми в настоящее время однородными позиционными системами являются:
* 2 — [[Двоичная система счисления|двоичная]] (в [[Дискретная математика|дискретной математике]], [[Информатика|информатике]], [[Программирование|программировании]]);
* 3 — [[Троичная система счисления|троичная]];
* 4 — [[Четверичная система счисления|четверичная]]<ref>{{Фасмер|девять}} «С девяти начинается новый отрезок счёта, в то время как и.-е. ''*ok̂tōu'' „восемь“ своей формой двойств. числа свидетельствует о древнем четверичном счёте»</ref> (кватричная)<ref>{{Статья|ссылка=https://7universum.com/pdf/tech/2(83)/2(83_1).pdf|автор=Мод Ривер|заглавие=Кватричная система счисления|год=2021|язык=ru|автор издания=https://7universum.com|место=Москва|издание=Universum: технические науки|издательство=Изд. «МЦНО»|тип=Научный журнал|месяц=(2)|число=83|том=Часть 1|номер=|страницы=23-26|pages=|issn=2311-5122|doi=10.32743/UniTech.2021.83.2-1|archive-date=2022-04-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20220424185834/https://7universum.com/pdf/tech/2(83)/2(83_1).pdf}}</ref>;
* 5 — [[Пятиричная система счисления|пятиричная]]<ref>Римская система счёта</ref>;
* 8 — [[Восьмеричная система счисления|восьмеричная]];
* 10 — [[Десятичная система счисления|десятичная]] (используется повсеместно);
* 12 — [[Двенадцатеричная система счисления|двенадцатеричная]] (счёт дюжинами);
* 16 — [[Шестнадцатеричная система счисления|шестнадцатеричная]] (используется в программировании, информатике);
* 20 — [[Двадцатеричная система счисления|двадцатеричная]];
* 60 — [[Шестидесятеричная система счисления|шестидесятеричная]] ([[единицы измерения времени]], измерение [[Угол|углов]] и, в частности, координат, [[Долгота|долготы]] и [[Широта|широты]]).

В позиционных системах чем больше [[основание системы счисления]], тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

== Смешанные системы счисления ==
'''Смешанная система счисления''' является обобщением <math>b</math>-ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая [[Числовая последовательность|последовательность чисел]] <math>\{b_k\}_{k=0}^{\infty}</math>, и каждое число <math>x</math> в ней представляется как [[линейная комбинация]]:
: <math>x = \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}b_k</math>, где на коэффициенты <math>a_{k}</math>, называемые как и прежде «цифрами», накладываются некоторые ограничения.
Записью числа <math>x</math> в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса <math>k</math>, начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида <math>b_k</math> как функции от <math>k</math> смешанные системы счисления могут быть [[Степенная функция|степенными]], [[Показательная функция|показательными]]. Когда <math>b_k=b^k</math> для некоторого <math>b</math>, смешанная система счисления совпадает с показательной <math>b</math>-ичной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «<math>d</math> дней, <math>h</math> часов, <math>m</math> минут, <math>s</math> секунд» соответствует значению <math>d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s</math> секунд.

=== Факториальная система счисления ===
В '''факториальной системе счисления''' основаниями являются последовательность [[факториал]]ов <math>b_k=k!</math>, и каждое натуральное число <math>x</math> представляется в виде:
: <math>x = \sum_{k=1}^n d_k k!</math>, где <math>0\leq d_k \leq k</math>.

Факториальная система счисления используется при '''декодировании перестановок списками инверсий''': имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: номер перестановки (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе <math>i!</math> будет обозначать число инверсий для элемента <math>i+1 </math> в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших <math>i+1</math>, но стоящих правее его в искомой перестановке).

Пример: рассмотрим множество перестановок из пяти элементов, всего их — 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём перестановку с номером 100:
: <math>100 = 4!\cdot 4 + 3!\cdot 0 + 2!\cdot 2 + 1!\cdot 0 = 96 + 4;</math>
положим <math>t_i</math> — коэффициент при числе <math>i!</math>, тогда <math>t_4 = 4</math>, <math>t_3 = 0</math>, <math>t_2 = 2</math>, <math>t_1 = 0</math>, тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, перестановка с номером 100 будет иметь вид: (5,3,1,2,4).
Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

=== Фибоначчиева система счисления ===
{{main|Фибоначчиева система счисления}}
'''Фибоначчиева система счисления''' основывается на [[Числа Фибоначчи|числах Фибоначчи]]. Каждое натуральное число <math>n</math> в ней представляется в виде:
: <math>n = \sum_{k} f_k F_k</math>, где <math>F_k</math> — числа Фибоначчи, <math>f_k\in\{0,1\}</math>, при этом в коэффициентах <math>f_k</math> есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

== Непозиционные системы счисления ==

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

К наиболее распространённым сегодня непозиционным системам счисления относятся [[римские цифры]].

=== Биномиальная система счисления ===
В {{не переведено|Биномиальная система счисления|биномиальной системе счисления|en|Combinatorial number system}} число ''x'' представляется в виде суммы [[Биномиальный коэффициент|биномиальных коэффициентов]]:
: <math>x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}</math>, где <math>0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n.</math>

При всяком фиксированном значении <math>n</math> каждое натуральное число представляется уникальным образом<ref>{{книга|автор=Ландо С. К.|заглавие=Лекции о производящих функциях|издание=3-е изд., испр.|место={{М.}}|издательство=[[МЦНМО]]|год=2007|страниц=144|ссылка=http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d62ef84c-a780-11dc-945c-d34917fee0be/view|isbn=978-5-94057-042-4|часть=Глава 1. Задача 1.13}}{{Недоступная ссылка|date=Апрель 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>.

=== Система остаточных классов (СОК) ===
{{main|Система остаточных классов}}
Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии [[Сравнение по модулю|вычета]] и [[Китайская теорема об остатках|китайской теореме об остатках]]. СОК определяется набором попарно взаимно простых модулей <math>(m_1, m_2, \dots, m_n)</math> с произведением <math>M=m_1\cdot m_2\cdot \dots\cdot m_n</math> так, что каждому целому числу <math>x</math> из отрезка <math>[0,M-1]</math> ставится в соответствие набор вычетов <math>(x_1, x_2, \dots, x_n)</math>, где
: <math>x \equiv x_1 \pmod{m_1};</math>
: <math>x \equiv x_2 \pmod{m_2};</math>
: …
: <math>x \equiv x_n \pmod{m_n}.</math>
При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка <math>[0,M-1]</math>.

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в <math>[0,M-1]</math>.

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям <math>(m_1, m_1\cdot m_2, \dots, m_1\cdot m_2\cdot\dots\cdot m_{n-1})</math>.

=== Система счисления Штерна-Броко ===
'''Система счисления Штерна-Броко''' — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на [[Дерево Штерна — Броко|дереве Штерна-Броко]].

== См. также ==
* [[История математики]]
* [[Системы записи чисел]]
* [[Алфавитная запись чисел]]
* [[Число]]
* [[Счёты]]
* [[Логарифмическая система счисления]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Ссылки ==
{{викиучебник|Системы счисления}}
* {{книга |автор=Гашков С. Б. |заглавие=Системы счисления и их применение |серия=[[Библиотека «Математическое просвещение»]] |выпуск=29 |год=2004 |издательство=[[МЦНМО]] |место=М. |ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140112045039/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-29|archive-date=2014-01-12}}
* {{книга |автор=Фомин С. В.|заглавие=Системы счисления |серия=[[Популярные лекции по математике]] |выпуск=40 |место=М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=48 |ссылка=http://plm.mccme.ru/ann/a40.htm}}
* {{статья |автор=Яглом И.|ссылка=http://kvant.mccme.ru/1970/06/sistemy_schisleniya.htm |заглавие=Системы счисления |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=6 |год=1970 |страницы=2—10}}
* [http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/TSIFRI_I_SISTEMI_SCHISLENIYA.html Цифры и системы счисления]. Онлайн Энциклопедия Кругосвет.
* {{статья|автор=Стахов А.|ссылка=http://articles.excelion.ru/science/history/teh/08402128.html|заглавие=Роль систем счисления в истории компьютеров|издание=|archive-url=https://web.archive.org/web/20090501061121/http://articles.excelion.ru/science/history/teh/08402128.html#|archive-date=2009-05-01}}
* Микушин А. В. Системы счисления. Курс лекций «Цифровые устройства и микропроцессоры»
* Butler J. T., Sasao T. [http://faculty.nps.edu/butler/PDF/1997/But_Sas_rd_num_1997.pdf Redundant Multiple-Valued Number Systems] В статье рассмотрены системы счисления, использующие цифры больше единицы и допускающие избыточность в представлении чисел

{{внешние ссылки}}
[[Категория:Системы счисления| ]]

Система счисления - История изменений

imported>Alex NB OT: оформление ссылки на архивную копию, замена устаревших имён параметров (4)