imported>MauveAccueil: внутренние ссылки

2023-04-24T13:48:59Z

внутренние ссылки

Новая страница

[[Файл:Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg|thumb|320px|[[граф Кэли (теория групп)|Граф Кэли]] симметрической группы S4]]
[[Файл:Symmetric group 3; Cayley table; matrices.svg|thumb|320px|[[Таблица Кэли]] симметрической группы S3 ([[таблица умножения]] [[Матрица перестановки|матриц перестановок]]) Имеются следующие позиции шести матриц: [[Файл:Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg|310px]] Таблица несимметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.]]
'''Симметрическая группа''' — [[группа (математика)|группа]] всех [[перестановка|перестановок]] заданного множества <math>X</math> (то есть [[биекция|биекций]] <math>X\to X</math>) относительно операции [[композиция функций|композиции]].

Симметрическая группа множества <math>X</math> обычно обозначается <math>S(X)</math>. Если <math>X=\{1,2,...,n\}</math>, то <math>S(X)</math> также обозначается через <math>S_n</math>. Поскольку для равномощных множеств (<math>|X|=|Y|</math>) [[Изоморфные группы|изоморфны]] и их группы перестановок (<math>S(X)\cong S(Y)</math>), то для конечной группы [[Порядок группы|порядка]] <math>n</math> группу её перестановок отождествляют с <math>S_n</math>.

[[нейтральный элемент|Нейтральным элементом]] в симметрической группе является [[Тождественное отображение|тождественная]] перестановка <math>\mathrm{id}(x)=x</math>.

== Группы перестановок ==
Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, '''''группами перестановок''''' множества <math>X</math> называют [[Подгруппа|подгруппы]] симметрической группы <math>S(X)</math><ref>[[Айгнер, Мартин|Айгнер М.]] ''Комбинаторная теория.'' М.: Мир, 1982. — 561 с.</ref>. Степенью группы в таком случае называется мощность <math>X</math>.

Каждая конечная группа <math>G</math> [[изоморфизм (математика)|изоморфна]] некоторой подгруппе группы <math>S(G)</math> ([[Теорема Кэли (теория групп)|теорема Кэли]]).

== Свойства ==
Число элементов симметрической группы для [[Конечное множество|конечного множества]] равно числу перестановок элементов, то есть [[факториал]]у мощности: <math>|S_n| = n!</math>. При <math>n \geqslant 3</math> симметрическая группа <math>S_n</math> некоммутативна.

Симметрическая группа <math>S_n</math> допускает следующее [[задание группы|задание]]:
: <math>\langle\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,(\sigma_i\sigma_{i+1})^3,\sigma_i\sigma_{j}=\sigma_j\sigma_i\ \text{if}\ |i-j|>1\rangle</math>.
Можно считать, что <math>\sigma_i</math> переставляет <math>i</math> и <math>i+1</math>. Максимальный [[Порядок элемента группы|порядок элементов]] группы <math>S_n</math> — [[функция Ландау]].

Группы <math>S_1, S_2, S_3, S_4</math> [[Разрешимая группа|разрешимы]], при <math>n \geqslant 5</math> симметрическая группа <math>S_n</math> является [[разрешимая группа|неразрешимой]].

Симметрическая группа является [[Совершенная группа|совершенной]] (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема [[Гёльдер, Отто|Гёльдера]]). В случае <math>n=6</math> группа <math>S_6</math> имеет ещё один {{нп5|Автоморфизмы симметрических и знакопеременных групп|внешний автоморфизм|en|Automorphisms of the symmetric and alternating groups#The exceptional outer automorphism of S6}}. В силу этого и предыдущего свойства при <math>n \geqslant 3, n\neq 6</math> все автоморфизмы <math>S_n</math> являются внутренними, то есть каждый автоморфизм <math>\alpha(x)</math> имеет вид <math>g^{-1}xg</math> для некоторого <math>g\in S_n</math>.

Число классов [[Сопряжённый элемент (теория групп)|сопряжённых элементов]] симметрической группы <math>S_n</math> равно [[Разбиение числа|числу разбиений числа]] <math>n</math><ref>{{OEIS|A000041}}</ref>. Множество транспозиций <math>(12),(23),...,(n-1 \ n)</math> является порождающим множеством <math>S_n</math>. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками <math>(12),(12...n)</math>, так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

[[Центр группы|Центр]] симметрической группы тривиален при <math>n \geqslant 3</math>. [[Коммутант]]ом <math>S_n</math> является [[знакопеременная группа]] <math>A_n</math>; причём при <math>n\neq 4</math> <math>A_n</math> — единственная нетривиальная [[нормальная подгруппа]] <math>S_n</math>, а <math>S_4</math> имеет ещё одну нормальную подгруппу — [[Четверная группа Клейна|четверную группу Клейна]].

== Представления ==
Любая подгруппа <math>G</math> группы перестановок <math>S_n</math> [[Представление группы|представима]] группой матриц из <math>SL(n,\Z)</math>, при этом каждой перестановке <math>\pi: i\to\pi (i)</math> соответствует [[перестановочная матрица]] (матрица, у которой все элементы в ячейках <math>(i,\pi(i))</math> равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка <math>(231)</math> представляется следующей матрицей <math>3\times 3</math>:

: <math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с [[Определитель|определителем]], равным 1, изоморфна знакопеременной группе <math>A_n</math>.

Существуют и другие представления симметрических групп, например, [[группа симметрии]] (состоящая из вращений и отражений) [[додекаэдр]]а изоморфна <math>S_5</math>, а [[группа вращений]] [[куб]]а изоморфна <math>S_4</math>.

== См. также ==
* [[Группа кос]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие=Курс алгебры|место =М. | издательство=Факториал-Пресс|год=2001}}
* {{книга|автор=Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И.|заглавие=Основы теории групп|место = М.|издательство=Наука, Физматлит|год=1982}}
* {{книга|автор=Кострикин А. И.|заглавие=Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры|место = М. издательство=Физматлит|год=2004}}
* {{книга|автор=Курош А. Г.|заглавие=Теория групп|место = М.|издательство=Наука, Физматлит|год=1967}}
* {{книга|автор=Постников М. М.|заглавие=Теория Галуа|место = М. | издательство=Физматлит|год=1963}}

[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Конечные группы]]
[[Категория:Группы перестановок]]

Симметрическая группа - История изменений

imported>MauveAccueil: внутренние ссылки