imported>WRETYUIOPOIGFDXCVBNJKH в 02:10, 18 ноября 2023

2023-11-18T02:10:19Z

Новая страница

'''Символ Лежандра''' — функция, используемая в [[теория чисел|теории чисел]]. Введён французским математиком [[Лежандр, Адриен Мари|А. М. Лежандром]].
Символ Лежандра является частным случаем [[символ Якоби|символа Якоби]], который, в свою очередь, является частным случаем [[символ Кронекера — Якоби|символа Кронекера — Якоби]], который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.

== Определение ==
Пусть <math>a</math> — целое число, и <math>p \neq 2</math> — [[простое число]]. Символ Лежандра <math>\textstyle \left(\frac{a}{p}\right)</math> определяется следующим образом:
* <math>\textstyle\left(\frac{a}{p}\right)=0</math>, если ''<math>a</math>'' делится на <math>p;</math>
* <math>\textstyle\left(\frac{a}{p}\right)=1</math>, если ''<math>a</math>'' является [[квадратичный вычет|квадратичным вычетом]] по модулю <math>p</math>, но при этом ''<math>a</math>'' не делится на <math>p;</math>
* <math>\textstyle\left(\frac{a}{p}\right)=-1</math>, если <math>a</math> является квадратичным невычетом по модулю <math>p.</math>

== Свойства ==
* [[Мультипликативная функция|Мультипликативность]]: <math>\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math>. Очевидными свойствами мультипликативности являются также следующие:
** если <math>a</math> не делится на <math>p</math>, то <math>\left(\frac{a^2}{p}\right) = 1;</math>
** если <math>a = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}</math> — [[каноническое разложение]] <math>a</math> на простые множители, то
**:<math>\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{p_1}{p}\right)^{\alpha_1 \pmod 2} \cdot \left(\frac{p_2}{p}\right)^{\alpha_2 \pmod 2} \cdot \ldots \cdot \left(\frac{p_k}{p}\right)^{\alpha_k \pmod 2}</math>.
* Если <math>a\equiv b\pmod p</math>, то
*:<math>\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)</math>.
* <math>\left(\frac{1}{p}\right)=1</math>.
* [[Лемма Гаусса о квадратичных вычетах]].
* [[Критерий Эйлера]]:
::<math>\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2}\pmod p.</math>
* Если <math>p\ne2</math>, то:
:: <math>\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}</math> (частный случай критерия Эйлера);
:: <math>\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}.</math>
{{Hider|
title = Доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Если <math>x < \frac{p}{2}</math> и <math>x</math> нечётно, то <math>p-x > \frac{p}{2}</math>, причём <math>p-x</math> чётно, и наоборот. Поэтому

<math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2} = </math>

<math>= (-(-1)) \cdot 2 \cdot (-(-3)) \cdot 4 \cdot \ldots \cdot \left({ \pm \left({ \pm \frac{p-1}{2} }\right) }\right) \equiv</math>

<math>\equiv (-{\color{blue}{(p-1)}}) \cdot {\color{red}{2}} \cdot (-{\color{blue}{(p-3)}}) \cdot {\color{red}{4}} \cdot \ldots \cdot \left({ \pm \left({ \pm \frac{p-1}{2} }\right) }\right) \pmod p\ ,</math>

где в последнем произведении числа под знаками чётны, причём встречаются все чётные числа. Таким образом, обозначая <math>s = \frac{p-1}{2}</math>, имеем

<math>s! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot \frac{p-1}{2} \equiv</math>

<math>\equiv (-1)^{\lfloor{(s+1)/2}\rfloor} \cdot {\color{red}{2}} \cdot {\color{red}{4}} \cdot \ldots \cdot {\color{blue}{(p-3)}} \cdot {\color{blue}{(p-1)}} = (-1)^{\lfloor{(s+1)/2}\rfloor} \cdot 2^s (s!) \pmod p</math>

Поэтому <math>2^s \equiv (-1)^{\lfloor{(s+1)/2}\rfloor} = (-1)^{\frac{s(s+1)}{2}} = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}</math>, что, по критерию Эйлера, доказывает утверждение.
}}
* [[Квадратичный закон взаимности]]: Пусть ''p'' и ''q'' — неравные нечетные простые числа, тогда
*:<math>\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}\cdot\left(\frac{p}{q}\right).</math>
* Если <math>p\equiv q\pmod{4\cdot a}</math>, то
::<math>\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>.
* При <math>p\ne2</math> среди чисел <math>1\leqslant a\leqslant p-1</math> ровно половина имеет символ Лежандра, равный 1, а другая половина — равный −1.

== Литература ==
* {{книга
|заглавие=Основы теории чисел
|ссылка= http://www.mccme.ru/free-books/djvu/vinogradov.djvu
|автор= Виноградов И. М.
|год=1952
|место=Москва
|издательство= ГИТТЛ
|страницы=180
|isbn=5-93972-252-0
}}

{{Характеры}}

[[Категория:Теория чисел]]

Символ Лежандра - История изменений

imported>WRETYUIOPOIGFDXCVBNJKH в 02:10, 18 ноября 2023